МАТЕМАТИКА_КР2

t

7

t

5

t

3

C =

6

7

5

3

t arctg t

1

6

1

6

1

6

x7

x5

x 6 x arctg 6 x

C .

7

5

3

1

Пример7. Вычислить интеграл

1

e x dx.

2

x

Решение.

Применяем подстановку t

1

, тогда dt

dx

.

x

x2

1

1

1

e x dx= et dt et C e x C .

x

2

В) Pn (x) ln x

dx ,

Pn (x) arcsin xdx ,

Pn (x) arccos xdx ,

Pn (x)arctg xdx ,

Pn (x)arcctg xdx .

В этих интегралах за dv принимается Pn (x)dx .

Пример 8. Вычислить xexdx .

Решение.

Положим

u x, dv exdx ,

тогда

v ex dx ex ,

du dx и

по

формуле

интегрирования по

частям

Отсюда

du

dx

, v x .

Используя

формулу

x2

1

интегрирования по частям, имеем:

arctg xdx = xarctgx

xdx

xarctgx

1

d (1 x2 )

1 x2

2

1 x2

xarctgx

1

ln(1 x2 ) C .

2

Пример 10. Вычислить (4x 3) sin

x

dx .

2

Решение. Примем u 4x 3, dv sin

x

dx , тогда du 4dx,

2

v sin

x

dx 2 cos

x

. Окончательно получаем:

2

2

u ln x ,

dv xdx,

du

dx

,

v xdx

x2

, отсюда

x

2

x ln xdx =

x2

ln x

1

xdx

x2

ln x

x2

C .

2

2

2

4

R x

Pm x

a xm a xm 1

... a

m

0

1

,

Qn x

b0 xn b1xn 1

... bn

действительные числа ( i 0,..., m; j 0,..., n ).

Если m n ,

то

R x называется правильной

рациональной дробью, если m n - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления

Pm x на

Qn x можно представить в виде суммы некоторого

многочлена и правильной дроби.

Pm x

Ln m x

Pk

x

,

Qn x

Qn x

Pk x

где Ln m x , Pk x

- многочлены;

- правильная

Qn x

рациональная дробь k m

Интегрирование

правильной рациональной

дроби

основано на следующей теории.

A

A

Mx N

Mx N

,

,

,

x a

x a k

x2 px q

x2 px q k

где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k –

натуральное число

k 2, p2 4q 0 .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби

представить в виде:

Q x x a k1

x a

2

k2 ... x a

s

ks

i

x2 p x q r1 ... x2 p

x q rm

,

1

m

m

A1

A2

...

Ak

;

x a

x a 2

x a k

простейшая дробь вида

Mx N

.

x2 px q

x3 2x 2

Пример12.

Найти интеграл

x 1 2 x2 1 dx .

Решение. Разложим правильную рациональную дробь

на сумму простейших дробей:

x3 2x 2

A

A

Mx N

x 1 2 x2 1 x 1 x 1 2

x2 1 .

1

2

Подставив значение

A

1

, находим:

N

3

,

A 0

,

2

2

2

1

x3 2x 2

x

2

1

dx

3

x 1 2 x2 1 dx

dx

2

x 1 2

x2 1

1

dx

1

d x2 1

3

dx

2

x 1 2

2

x2 1

2

x2 1

1

1

3

ln x2 1

arctgx C.

2 x 1

2

2

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим

интеграл

типа

R(sin x, cos x)dx , где R

универсальной постановки tg

x

t, ( x ) .

2

Действительно, x 2arctg x, dx

2dt

и

1 t 2

2tg

x

1 tg 2

x

1 t 2

2t

=

.

sin x

2

, cos x

2

t 2

1 tg

2 x

1

1 tg

2 x

1 t 2

2

2

dx

=

2dt

5 4 sin x 3 cos x

8t

1 t 2

(5

3

)(1 t 2 )

t 2

t 2

1

1

dt

1

C

1

C .

=

(t 2)2

2 t

2 tg

x

2

Универсальная подстановка нередко приводит к сложным

предпочтительней

частные

подстановки,

также

рационализирующие интеграл.

если

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) , то

применима

подстановка cos x t ;

если

R(sin x, cos x) R(sin x, cos x),

то

применима

подстановка sin x t ;

если

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ,

то

применима

подстановка tgx t .

Вычислить интеграл

sin3 x dx

Пример14.

.

cos x 3

Решение.

Положим cos x t и найдем:

dt

sin x 1 t 2 , x arccos t, dx

, поэтому:

1 t 2

sin3 x dx

(

1 t 2 )3

dt

t 2 1

=

dt =

cos x 3

t 3

1 t 2

t 3

(t 3

8

)dt

t 2

3t 8 ln

t 3

C =

t

cos2 x

3

2

3cos x 8 ln

cos x 3

C .

2

Рассмотрим интеграл вида cosm x sin n xdx ,

где m и n-

cos2 x

1 cos 2 x

, sin 2 x

1 cos 2 x

.

2

2

Пример15. Вычислить интеграл sin 2 x cos3 xdx .

Решение.

sin 2 x cos3 xdx = sin 2

x(1 sin 2 x)d sin x t 2 (1 t 2 )dt =

t3

t5

C

1

sin3 x

1

sin5 x C .

3

5

3

5

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл следующего вида:

R[x, (

ax b

ax b

, ]dx,

)

, (

)

cx d

cx d

где

R

-

рациональная функция,

m1

,

m2

, -

n1

n2

от

рациональной

функции

с помощью

подстановки

ax b

t k ,

где

k -

общий

знаменатель

всех дробных

cx d

показателей.

Пример16. Вычислить интеграл

x

dx .

1 4

x

Решение. Положив x t 4 , dx 4t3dt , получим:

t 2

3dt 4

t5dt

x

dx =

4t

1 t

1 4

x

1 t

4 (t

4 t3 t 2 t 1

1

)dt =

1

t

4(

t5

t 4

t3

t 2

t ln

t 1) C =

5

4

3

2

4

4 4

4 x5 x

x3

2

x

44

x

4 ln(4

x

1) C .

5

3

arcsin x 1

cos 2

x sin 2 xdx

c)

2x 2 x 3

5.3

a)

dx b)

dx.

x x

1 x2

1 x 3

a)

xdx

b)

dx

c)

3x 5

5.4

x 1 x2 1 dx .

1 x 4

(arcsin 2 x)

1 x 2

a)

arccos

2 xdx

b)

cos 3x cos xdx

c)

x5 x 3

5.5

dx .

x2

1 x2

1

e x

5.6

a)

tgx

dx

b)

dx

c) sin 5x sin xdx .

3 e2 x

cos x sin x

5.7

a)

e x dx

b)

(x 1)

dx

c)

xdx

.

x3 8

2 e x

x2 x 1

5.8

a)

dx

b)

x

dx

c)

xdx

.

x ln x