МАТЕМАТИКА_КР2
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
y tgx |
y |
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
y ctgx |
y |
|
sin2 x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12. |
y arcsin x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. |
y arccos x |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
y arctgx |
y |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
y arcctgx |
y |
|
1 x |
2 |
|
|
|
y f (x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Логарифмической |
производной |
|
|
|
|
функции |
|||||||||||||||||
называется производная от |
|
|
|
|
логарифма этой |
функции: |
(ln y) y , при y > 0. Нахождение производных от многих y
функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.
Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной y .
Рассмотрим примеры вычисления производных.
Пример 1. Найти производную функции y x3 3 . x 2 x 1
Решение. Применяя правила 4,1 и таблицу производных, получим:
21
y |
3x 2 (x 2 |
x 1) (x3 3) (2x 1) |
|
x4 |
2x3 |
3x 2 6x 4 |
. |
|||||||||||||||
|
(x 2 x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
x |
1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2. Найти y |
|
|
y 3cos |
2 |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
, если |
|
(sin ( x)) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
Последовательно |
|
|
|
|
применяя |
|
правило |
|
|||||||||||||
дифференцирования сложной функции, получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
y 3 2 cos(sin 5 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
)) cos(sin |
5 ( |
|
)) |
|
|
6 cos(sin 5 ( |
|
)) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
( sin(sin 5 |
1 |
))) |
1 |
)) |
6 cos(sin 5 ( |
1 |
)) sin(sin 5 |
1 |
)) |
|||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
(sin 5 ( |
|
|
|
( |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
5sin 4 ( |
|
) |
(sin( |
|
)) 30 cos(sin 5 ( |
|
|
)) sin(sin 5 ( |
|
|
)) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
sin 4 ( |
|
) cos( |
|
) |
( |
|
) 30 cos(sin 5 ( |
|
)) sin(sin 5 |
( |
|
)) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
sin 4 ( |
1 |
) cos( |
1 |
) |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 3. Найти производную функции y (x 3)sin 2x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Применим логарифмическую производную: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln y ln( x 3)sin 2x |
sin 2x ln( x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
2 cos 2x ln( x 3) |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y y 2 cos2x ln( x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x 3) |
sin 2x |
|
|
sin 2x |
|||
|
2 cos2x ln( x 3) |
|
. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
Пример4. |
Найти |
|
производную |
функции |
|||
y |
e x2 sin 3 (x 4) arctg (x3 ) |
. |
|
|
|
|||
tg 4 |
(x 1) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
В |
случае |
произведения |
нескольких |
|||
сомножителей |
применение |
|
логарифмической |
производной |
также эффективно:
22
ln y ln e x2 ln sin 3 (x 4) ln arctg (x3 ) ln tg 4 (x 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
3ln sin( x 4) ln arctg (x3 ) 4 ln tg(x 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg (x3 ) 1 x6 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
sin( x 4) |
|
tg(x 1) cos2 (x 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
e x2 |
sin 3 (x 4) arctg (x3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 4 (x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x |
sin( x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
) 1 x |
6 |
|
|
|
2 |
(x |
1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(x |
|
|
|
|
|
tg(x 1) cos |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
5. Найти |
|
производную функции |
|
y(x) , |
если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 3xy 2 |
2 y 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Решение. Применим правило дифференцирования |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неявной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2x 3 1 y 2 x 2 y y |
2 y |
|
(x |
2 |
y) |
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2x y )(2 y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2 y) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
(x |
2 |
|
y) 2x(2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2x 3y 2 |
6xyy |
|
|
|
|
1) y (2 y 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2 y) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 y 2 y 1) 2x(2 y 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2x 3 y 2 |
6xyy |
y (2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2 y) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2x(2 y 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2x 3 y |
|
( x 2 |
y) 2 |
|
|
( x 2 y) 2 |
|
6xyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2x 2 |
1) |
|
|
|
|
|
2x(2 y 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 2x 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y) |
6xy |
|
|
|
|
|
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
2x(2 y 1) (2x 3y 2 )( x 2 y) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2x 2 1 6xy(x 2 y) 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
2.1. |
a) y 5 arcsin 2 |
3 1 5x2 ; |
b) x 2 3xy |
|
. |
|||||||||||||||||
y3 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.2. |
a) y 5 3x cos x ; |
b) y x xy |
y3 |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
||
|
a) y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 y |
||||
2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; b) x3 y xy 3 e 2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
tg 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 |
|||||||||||
|
|
|
|
3 6x |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.4. |
a) y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
b) yx 2 xy 3 ln(x 2 |
y 2 ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg(x 1) tg 2 |
(2x) e x3 |
|
|
|
||
2.5. |
a) y |
b) x3 |
y2 x2 |
sin( xy). |
||||
(x2 |
|
1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
2.6.a)
2.7.a)
2.8.a)
2.9.a)
2.10.a)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy2 3 |
|
|
|
y 4 cos |
3 |
|
arcctg (x |
2 |
3x) ; b) |
xy |
3 |
. |
||||
|
|
|
xy 4 |
|
||||||||
|
|
1 |
sin 2x |
|
|
|
xy x y 2 . |
|||||
y 1 |
|
|
|
|
b) xy arcctg 2 |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x3 3x2 1 |
; b) y 2 x |
|
3y |
e3 y2 |
5y. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 1 sin 2x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
xy 2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
(arcsin 3x) 3 |
; b) |
6x. |
|
|
|
|
|
||||||||||
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 x2 arctg 2 x ln(x 2 1) |
; b) y |
|
xy 5 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sin 3 x |
|
|
xy |
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.11. a) y sin 3 (x |
1 |
|
); b) 2x3 |
3y |
xy 3 |
. |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e3x |
|
|
xy 4 |
||||
|
|
x 3 x2 |
|
|
|
3x 2 2 |
|
|
|||
2.12. |
a) y ctg |
|
|
|
; b) xy 10 y 2 |
|
|
. |
|||
|
|
2 y 5 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
y 2 x |
|
|||||
2.13. a) y 3 |
3x |
|
|
|
|
; b) |
x 2 y3 . |
|||||
5x |
|
|||||||||||
|
|
x y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
||
2.14. |
a) y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; b) x3 y xy 3 sin( xy). |
||
x 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.15. |
a) y |
|
x3 |
2 ln5 (2x 3) |
; b) cos y |
x 2 y 1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
x y3 |
|
||||
|
3 arcsin x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2.16.a) y 3ln 4 (arcsin 2 x);
2 arcsin (
2.17.a) y arctg(x )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x2 1 |
|
|
||||
2.18. |
a) y |
|
|
|
|
; |
b) |
|
sin 2 x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
2.19. |
a) y (ln x)lg3 x ; |
b) |
b) |
y 2 |
|
xy sin y 1. |
||||||||
x3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 ) ; b) xy |
x |
cos2 y . |
|||||||||
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
x2 y 2 x |
2 y |
. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
x 2 1 |
x3 y 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
y 2 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.20. |
a) y |
3x2 |
2 x3 |
; b) |
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
||
ln3 x |
ln 2 (x 1) |
x |
y |
sin y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
25
УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3.
ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
Внутренняя точка x0 интервала (a,b) называется точкой
максимума (минимума) функции |
f (x) , если существует |
такое 0 , что для всех x из |
интервала (x0 , x0 ) , |
содержащегося внутри интервала (a,b) , выполняется
неравенство f ( x0 ) f ( x) ( f ( x0 ) f ( x)). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания)
функции. |
|
|
|
|
|
Если |
(a,b) , то |
f (x) |
|||
f (x) 0 |
( f (x) 0) в интервале |
строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает),
называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1.найти область определения функции;
2.найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и достигает в этой точке максимума (минимума), то f (x0 ) 0.
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
26
Достаточные условия экстремума функции
Если при переходе через точку x0 , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности
точки x0 |
f |
|
|
x x0 |
и f |
|
|
для x x0 , то x0 |
|||
(x) 0 для |
(x) 0 |
||||||||||
является |
точкой максимума. |
|
Если |
же в |
этой |
окрестности |
|||||
|
для |
x x0 и |
|
0 для |
x x0 , то |
x0 |
– точка |
||||
f (x) 0 |
f (x) |
||||||||||
минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другим |
|
достаточным |
|
признаком |
существования |
||||||
экстремума |
в |
стационарной |
|
точке |
x0 |
является |
условие |
|
|
(тогда |
f (x0 ) 0 (тогда это точка максимума) и |
f (x0 ) 0 |
|
это точка минимума). При этом считается, |
что f (x) |
имеет |
непрерывную вторую производную в некоторой окрестности
точки x0 .
График функции y f (x) называется выпуклым (или выпуклым вверх) в интервале (a,с) , если он расположен не выше касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1).
График функции y f (x) называется вогнутым (или выпуклым вниз) в интервале (с,b) , если он расположен не ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 1).
У
y =f(x)
0 a |
c |
b X |
Рис. 1
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции
27
Если f (x) 0 в интервале (a,b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f (x) 0, то в интервале (a,b) график функции вогнутый.
Точка x0 ; f (x0 ) графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Если x0 |
─ абсцисса |
точки перегиба графика |
функции |
||
y f (x), |
то вторая |
производная равна |
нулю |
или |
не |
существует в этой точке. Точки, в которых |
|
|
или |
||
f (x) 0 |
f (x) не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода x0 вторая производная меняет знак, то точка x0 ; f (x0 ) есть
точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из
координат точки к бесконечности). |
|
|
|
|
||||||||
Прямая |
y a |
является |
вертикальной |
асимптотой |
||||||||
кривой y = f(x), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
f ( x) |
или |
lim f (x) . |
|
|||||||
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
Прямая |
y b |
является |
горизонтальной |
асимптотой |
||||||||
кривой y |
= f |
(x), |
если |
существует |
lim f (x) b |
или |
||||||
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y kx b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прямая |
является |
наклонной |
асимптотой |
|||||||||
кривой y = f(x), если существуют пределы: |
|
|
|
|||||||||
|
k lim |
f (x) |
, b lim( f (x) kx), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
||||
или |
k lim |
f (x) |
, b lim ( f (x) kx) . |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.
28
1.Найти область определения функции.
2.Определить четность (нечетность), периодичность функции.
3.Найти точки разрыва.
4.Определить точки пересечения графика с осями координат.
5.Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
6.Определить интервалы возрастания и убывания функции.
7.Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
8.Определить асимптоты.
9.Найти предельные значения функции при аргументе,
стремящемся к границам области определения.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Пример. Исследовать функцию |
f (x) |
|
x 2 |
и построить ее |
|
x |
|||
|
1 |
|
||
график. |
|
|
|
|
Решение.
1. Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки x 1, где она терпит бесконечный разрыв. Область определения функции
х ( ; 1) ( 1; ) |
|
|
|
2. |
Поскольку |
f ( x) f (x) и |
f ( x) f (x) , то |
рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Функция непериодична.
29
3.Точка х=-1 является точкой разрыва.
4.Точка (0;0) является точкой пересечения функции с осями координат.
5.Точки экстремума.
Вычислим производную:
y / |
2x(1 x) x2 |
|
x2 2x |
|
x(x 2) |
. |
|
|
(1 x)2 |
(1 x)2 |
(1 |
x)2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Производная обращается в нуль при x 0 |
и x 2. |
|||||||
Производная не существует при х=-1. |
|
|
Точка ( 2; 4) ─максимум, а точка (0,0) ─минимум функции.
Построим интервалы монотонности (рис. 2):
Y '(x) + |
- |
- |
+ |
x |
|
|
|
|
|
Y (x) |
-2 |
-1 |
0 |
|
|
|
Рис. 2
6.Функция возрастает при x ( ; 2) (0; )и убывает при x ( 2; 1) ( 1;0) .
7.Найдем вторую производную:
y" |
(2x 2) (1 x)2 |
2(1 x) (x2 |
2x) |
|
|||||
|
(1 |
x)4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x 2 2x2 |
2x 2x2 4x |
|
|
2 |
|
. |
||
|
|
x)3 |
|
|
x)3 |
||||
|
|
(1 |
|
(1 |
|
||||
|
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при |
переходе через точку x 1 меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале ( ; 1) график функции выпуклый, а в интервале ( 1; ) ─ вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.
8. Асимптоты функции.
30