- •А.С. Скачков
- •Предисловие
- •Часть III логика высказываний и предикатов Введение
- •Тема седьмая классическая логика высказываний
- •§7.1. Общая характеристика и особенности языка классической логики высказываний (клв)
- •§7.2. Пропозициональные связки; образование формул клв
- •§7.3. Истинностная функция пропозициональных связок, табличное определение истинности
- •§7.4. Виды и взаимоотношения формул и схем клв
- •§7.5. Схемы некоторых законов клв
- •7.6. Основные виды дедуктивных рассуждений, выраженные яклв
- •Тема восьмая классическое исчисление высказываний
- •§8.1. Логический смысл исчислений
- •§8.2. Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода
- •А, в ________ . А в
- •§8.3. Выводы и доказательства
- •§8.4. Эвристики натурального исчисления высказываний
- •Тема девятая язык и исчисление классической логики предикатов
- •§9.1. Общая характеристика классической логики предикатов
- •§9.2. Язык классической логики предикатов
- •§9.3. Запись имён и высказываний на яклп: термы и формулы
- •§9.4. Законы классической логики предикатов
- •§9.5. Исчисление предикатов первого порядка
- •Контрольные вопросы
- •Часть IV теория правдоподобных рассуждений Введение
- •Тема десятая основы формализации рассуждений с правдоподобным следованием
- •§10.1. Понятие о правдоподобном (вероятностном) рассуждении
- •§10.2. Фактический и логический смысл вероятности. Классическая (априорная) вероятность
- •§10.3. Статистическая (апостериорная) вероятность
- •§10.4. Исчисление условной вероятности
- •§10.5. Принцип обратной дедукции
- •Тема одиннадцатая разновидности индукции
- •§11.1. Понятие индукции в традиционной и современной логике
- •§11.2. Классификация видов индукции по характеру следования
- •§11.3. Индуктивные методы установления причинных связей
- •Тема двенадцатая умозаключения по аналогии, гипотеза и гипотетико-дедуктивный метод
- •§12.1. Аналогия: виды, приёмы повышения степени вероятности
- •§12.2. Гипотеза: виды, построение, этапы организации
- •§12.3. Требования к теоретическому обоснованию гипотез. Гипотетико-дедуктивный метод
- •Контрольные вопросы
- •Часть V основы аргументационного процесса Введение
- •Тема тринадцатая логические основы аргументации
- •§13.1. Основы теории аргументации
- •§13.2. Состав аргументации. Структура аргументационного процесса
- •§13.3. Доказательство и опровержение в аргументации
- •§13.4. Правила и логические ошибки в доказательстве и опровержении
- •Тема четырнадцатая внелогическая составляющая аргументационного процесса
- •§14.1. Спор и его виды
- •§14.2. Тактика спора
- •§14.3. Софистика. Уловки в полемике и эклектике
- •Контрольные вопросы
- •Перечень основных символов классической формальной логики
- •Библиографический список
- •Оглавление
§9.4. Законы классической логики предикатов
На основе правил приписывания истинностных значений осуществляется введение понятия закона классической логики предикатов, т. е. формулы, которая истинна при любых допустимых в этой теории интерпретациях нелогических символов, входящих в состав данной формулы. Законом классической логики предикатов называется такая и только такая формула, которая принимает значения «истина» в каждой модели и при любом приписывании значений предметным переменным. Законы классической логики предикатов называют также общезначимыми формулами, и утверждение «формула A общезначима» записывается |= A.
Пример
Общезначимой является рассмотренная выше формула xP(x)xP(x).
Схемы наиболее важных общезначимых формул (законов классической логики высказываний):
1. xyAyxA; xyAyxA; xyAyxA — законы перестановки кванторов.
2. xAxA; xAxA — законы взаимовыразимости кванторов.
3. ((xА(x)xВ(x))x(А(x)В(x))); ((xА(x)xВ(x)) x(А(x)В(x))); (x(А(x)В(x))(xА(x)xВ(x))); ((xА(x)xВ(x))x(А(x)В(x))); (x(АВ(x))(PxВ(x))), если x не свободна в P; (x(АВ(x)) (АxВ(x))), если x не свободна в P; (x(А(x)В(x))(xА(x)xВ(x))) — законы пронесения кванторов.
4. xA(x)xA(x); xA(x)xA(x) — законы образования контрадикторной противоположности (отрицания кванторов).
5. xA(x)xA(x) — закон связи кванторов общности и существования.
6. xA(x)A(t); A(t)xA(x) — закон исключения квантора общности и введения квантора существования.
7. xAxA — закон подчинения.
8. xAxA — закон непустоты предметной области.
Наряду с общезначимыми существуют также выполнимые формулы. Выполнимой в логике предикатов является такая и только такая формула, которая принимает значение «истина» в некоторой модели и при некоторых значениях, приписанных предметным переменным.
Пример
Выполнимой является формула xAxA (соответствующее данной формуле высказывание «Если некоторые из существ любят сладкое, то некоторые из существ не любят сладкого» — истинно, но соответствующее данной формуле высказывание «Если некоторые из пианистов являются музыкантами, то некоторые из пианистов не являются музыкантами — ложно). Если же формула принимает значение «ложь» в каждой модели и при каждом приписывании значений предметным переменным, таковой является формула высказывания «Все люди бессмертны, но Адам умер».
Разобранные примеры позволяют выявить следующую систему предписаний относительно перевода выражений естественного языка на язык логики предикатов 1-го порядка: а) единичные имена необходимо заменить предметными постоянными, а общие имена предикаторными постоянными; б) заменить кванторные слова кванторами, записать кванторы с относящимися к ним переменными в порядке нахождения кванторных слов в анализируемом высказывании; в) выписать формулу, заменяющую первый (по смыслу) предикат и поставить перед ней левую скобку; если предметная переменная этой формулы связана квантором общности, то поставить после неё знак импликации, если же она связана квантором существования, то поставить после неё знак конъюнкции; после знака импликации или знака конъюнкции поставить левую скобку; г) выписать заменяющую второй (по смыслу) предикат формулу, и если предметная переменная этой формулы связана квантором общности, то поставить после неё знак импликации, если же она связана квантором существования, то поставить после неё знак конъюнкции; после знака импликации или знака конъюнкции поставить левую скобку и т. д.; д) выписать формулу, заменяющую последний предикат; е) после заменяющей последний предикат формулы, поставить необходимое число правых скобок (если выявляется логическая форма отрицательного высказывания, то перед последней предикаторной постоянной поставить знак отрицания).