Образец выполнения задания

Задача 1. На рис. 1 и 2 изображены электрические схемы. Выключатели изображены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать через события - «включен выключатель с номером » для каждой схемы следующие события: - «ток идет» и - «ток не идет».

Рис. 1 Рис. 2

Решение. В схеме, приведенной на рис. 1, ток идет, если включены или 1 и 3 выключатели, или выключатель 2. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . В схеме (рис. 1) ток не идет, если выключены выключатель 2 и хотя бы один из выключателей 1 или 3. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . Иначе, используя свойства операций над событиями,

.

Для схемы (рис. 2) , .

Задача 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Как велика вероятность, что в нем: а) все цифры различные; б) все цифры нечетные?

Решение. а) Событие - все цифры различные. , где - число всех элементарных равновозможных событий, m - число элементарных равновозможных событий, благоприятных наступлению события . Пусть - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, причем цифры могут повторяться, поэтому . m - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, но цифры должны быть различными, поэтому (порядок для телефонного номера важен). Таким образом, .

б) Событие - все цифры нечетные. , - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 5 нечетных, причем цифры могут повторяться, поэтому . Таким образом,

Задача 3. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение. Пусть событие состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес (). Искомая вероятность , так как события А₁, А₂, А₃ совместны, то

.

Для всех . Таким образом,

.

Задача 4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

Решение. Пусть событие - деталь, взятая наудачу из бункера, бракованная. Событие может произойти только совместно с одним из следующих событий: - деталь изготовлена на 1-м станке, - на 2-м станке, - на 3-м станке. События образуют полную группу несовместных событий, поэтому

. Если принять производительность второго станка за k, то производительность первого станка - 3k, третьего – 2k. Тогда

Задача 5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Решение. Пусть событие - бракованных изделий окажется более трех.

- бракованных изделий не более трех.

где

.

.

Контрольные задания.

Задача № 1.

1.1. Пусть А В . Упростить выражения А В, А+В, А В С, А+В+С.

1.2. Бросаются две игральные кости. Пусть А - событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В - событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события .

1.3. Дана система S, состоящая из блоков Записать событие S, состоящее в том, что система S исправна.

a₁ a₂ b₁ b₂

d

1.4. Пусть А,В,С - три произвольных события. Найти выражения, если:

- произошло только событие А;

- произошло одно и только одно событие;

- произошло два и только два события;

- все три события произошли;

- произошло не более двух событий.

1.5. Пусть событие А - падает снег, событие В - идет дождь. Выразить через

А и В следующие события: а) дождь со снегом; б) дождь или снег; в) нет дождя;

г) ясная погода; д) падает снег без дождя.

1.6. Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Сколько элементарных событий соответствует тому, что а) сумма очков больше 10? б) сумма очков - четная?

1.7. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина, событие В_к( к = 1,2) - исправен k-й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события С и через А и В_к .

1.8. Образуют ли полную группу следующие наборы событий (дать полный ответ, доказать). Опыт:

а) Бросание двух монет; события: А - появление двух гербов, А- появление двух цифр.

б) Два выстрела по мишени; события: - хотя бы попадание, В- хотя бы один промах.

1.9. Образуют ли полную группу следующие группы событий (дать полный ответ, доказать). Опыт:

а) Бросание игральной кости; события: А₁ - появление не менее трех очков, А₂ - появление не более четырех очков.

б) Два выстрела по мишени; cобытия: В₁ - ни одного попадания, В₂ - одно попадание, В₃ - два попадания?

1.10. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А - обнаружен ровно один из четырех объектов,

В - обнаружен хотя бы один объект. Указать (с доказательством), в чем состоят события А + В; А В.

1.11. Каковы соотношения между событиями А,В и С, если АВС=А; если А+В+С=А? Дать геометрическую интерпретацию.

1.12. Назвать противоположные события для следующих событий: С - три по-падания при трех выстрелах; Д - хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.

1.13. Назвать противоположные события для следующих событий: А - не более двух попаданий при пяти выстрелах, В - выигрыш первого игрока при игре в шахматы.

1.14. Событие В есть частный случай события А, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли из , что произошло? Следует ли из событие ?

1.15. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окру-жностями с радиусами (к=1,2,...,10), причем r₂< r₂< ...< r₁₀. Событие А_k – попа-дание в круг радиусом r_k. Что означают события . Что представляет собой событие ?

1.16. События А - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный,

В - все приборы доброкачественные. Что означают события А+В, А·В.

1.17. Пусть А и В - случайные события. Доказать, что А, образуют полную группу.

1.18. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Записать событие, которое должно иметь место для того, чтобы был произведен четвертый выстрел? Будет ли это событие противоположно тому событию, что произведено не более трех выстрелов?

1.19. Имеется электрическая схема

3

1 2 6

4 5

Выразить через события А_i ( i-й контакт замкнут) и ( i-й контакт разомкнут) следующие события: С - лампочка горит и - лампочка не горит.

1.20. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i ( i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок первого типа, В_j ( j = 1, 2, 3, 4) - исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

1.21. Пусть A_i - событие, состоящее в том, что при i-м повторении эксперимента осуществилось событие А; - событие, состоящее в том, что при n первых повторениях эксперимента событие А осуществилось m раз. Выразить через .

1.22. Два шахматиста играют одну партию. Событие А - выиграет первый игрок, В - выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

1.23. Опыт - передача двух сигналов. Относительно перечисленных событий указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий: А - хотя бы один сигнал искажен, B- хотя бы один сигнал не искажен.

1.24. Опыт - эксплуатируются два прибора в течение времени t. Рассматривая события: А - ни один прибор не вышел из строя, В - один прибор вышел из строя, а другой нет, С - оба прибора вышли из строя. Ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли несовместными, являются ли равновозможными.

1.25. Равны ли события А и В, если а) ; б) А+С = В+С; в) АС=ВС;

1.26. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей. Событие

В - в том, что он играет на гитаре, а событие С - в том, что он живет в общежитии. Описать событие АВС. При каком условии будет иметь место тождество АВС=А? Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь место, если все юноши играют на гитаре?

1.27. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: В - обнаружен хотя бы один объект; С -обнаружено не менее двух объектов, D - обнаружено ровно два объекта; Е -обнаружено ровно три объекта, F - обнаружены все четыре объекта. Указать, в чем состоят события D+Е+F, ВС.

1.28. Событие А - хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В - бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

1.29. Опыт - передача (в одинаковых условиях) трех сообщений равной длины. Рассматривая события: А - искажено первое сообщение; В - искажено второе сообщение; С - искажено третье сообщение. Ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли несовместными, являются ли равновозможными?

1.30. Опыт – Брошены 2 игральные кости. Образуют ли полную группу событий следующие наборы: А - на обеих костях шестерки, В - ни на одной кости нет шестерки, С - на одной из костей шестерка, на другой – нет. (Указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий).