- •А.С. Скачков
- •Предисловие
- •Часть III логика высказываний и предикатов Введение
- •Тема седьмая классическая логика высказываний
- •§7.1. Общая характеристика и особенности языка классической логики высказываний (клв)
- •§7.2. Пропозициональные связки; образование формул клв
- •§7.3. Истинностная функция пропозициональных связок, табличное определение истинности
- •§7.4. Виды и взаимоотношения формул и схем клв
- •§7.5. Схемы некоторых законов клв
- •7.6. Основные виды дедуктивных рассуждений, выраженные яклв
- •Тема восьмая классическое исчисление высказываний
- •§8.1. Логический смысл исчислений
- •§8.2. Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода
- •А, в ________ . А в
- •§8.3. Выводы и доказательства
- •§8.4. Эвристики натурального исчисления высказываний
- •Тема девятая язык и исчисление классической логики предикатов
- •§9.1. Общая характеристика классической логики предикатов
- •§9.2. Язык классической логики предикатов
- •§9.3. Запись имён и высказываний на яклп: термы и формулы
- •§9.4. Законы классической логики предикатов
- •§9.5. Исчисление предикатов первого порядка
- •Контрольные вопросы
- •Часть IV теория правдоподобных рассуждений Введение
- •Тема десятая основы формализации рассуждений с правдоподобным следованием
- •§10.1. Понятие о правдоподобном (вероятностном) рассуждении
- •§10.2. Фактический и логический смысл вероятности. Классическая (априорная) вероятность
- •§10.3. Статистическая (апостериорная) вероятность
- •§10.4. Исчисление условной вероятности
- •§10.5. Принцип обратной дедукции
- •Тема одиннадцатая разновидности индукции
- •§11.1. Понятие индукции в традиционной и современной логике
- •§11.2. Классификация видов индукции по характеру следования
- •§11.3. Индуктивные методы установления причинных связей
- •Тема двенадцатая умозаключения по аналогии, гипотеза и гипотетико-дедуктивный метод
- •§12.1. Аналогия: виды, приёмы повышения степени вероятности
- •§12.2. Гипотеза: виды, построение, этапы организации
- •§12.3. Требования к теоретическому обоснованию гипотез. Гипотетико-дедуктивный метод
- •Контрольные вопросы
- •Часть V основы аргументационного процесса Введение
- •Тема тринадцатая логические основы аргументации
- •§13.1. Основы теории аргументации
- •§13.2. Состав аргументации. Структура аргументационного процесса
- •§13.3. Доказательство и опровержение в аргументации
- •§13.4. Правила и логические ошибки в доказательстве и опровержении
- •Тема четырнадцатая внелогическая составляющая аргументационного процесса
- •§14.1. Спор и его виды
- •§14.2. Тактика спора
- •§14.3. Софистика. Уловки в полемике и эклектике
- •Контрольные вопросы
- •Перечень основных символов классической формальной логики
- •Библиографический список
- •Оглавление
§8.4. Эвристики натурального исчисления высказываний
Построение выводов и доказательств является творческой задачей, например, при поиске посылок в доказательстве при условии, что хотя в качестве посылок можно брать любые формулы, но в ходе вывода все они должны быть исключены. Выбор нужных для вывода посылок может быть случайным и иметь характер простого перебора различных возможностей. Во избежание последнего в логике были выработаны и применяются особые методологические приёмы эвристики, позволяющие предельно сократить число переборов. Натуральное исчисление высказываний опирается на 3-и основных эвристики. 1-я эвристика применяется тогда, когда являющаяся целью вывода формула импликативна; в таком случае антецедент этой формулы берётся в качестве дополнительной посылки, а целью выведения становится консеквент формулы.
Пример
Применим 1-ю эвристику к формуле законa введения конъюнкции: (pq)(pq)). Получим следующую схему вывода:
_______ ______________
|
1. p — пос. 2. q — пос. 3. p q — в, 1, 2. 4. q (p q) — в, 2, 3. 5. p (q (p q)) — в, 1, 4. |
В данной схеме из числа исключающих посылки правил вывода имеется только правило введения импликации, что характеризует данный вывод в качестве прямого. Вывод, в котором при выборе посылок использовалась только 1-я эвристика (т. е. не применялось правило введения отрицания), называется прямым выводом. В предыдущих же схемах доказательств имелось правило введения отрицания, что характеризует эти выводы в качестве косвенных (от противного) и свидетельствует об использовании 2-й эвристики. При этом фундаментальным является прямой вывод, и всё то, что обосновывается посредством прямого вывода, может быть обосновано и посредством вывода косвенного. 2-я эвристика применяется после исчерпания возможностей первой, когда целью вывода не является импликативная формула; в таком случае в качестве дополнительной посылки берётся отрицание этой формулы, а целью вывода становится получение в ходе рассуждения противоречия. Если это удаётся сделать, то, применяя правило введения отрицания, можно получить в выводе формулу отрицания дополнительной посылки, а используя правило исключения отрицания, получить итоговую формулу.
Пример
Рассмотрим в качестве ещё одного примера использования 2-й эвристики доказательство закона обратной контрапозиции ((q p) (p q)):
_______ ____________________ ____________________________ |
1. q p — пос. 2. p — пос. 3. q — пос. 4. p — и, 1, 3. 5. q — в, 2, 4. 6. q — и, 5. 7. p q — в, 2, 6. 8. (q p) (p q) — в, 1, 7. |
3-я эвристика применяется после исчерпания возможностей первой и второй, когда в выводе имеется дизъюнктивная формула, а целью вывода остаётся получение противоречия.
Пример
Докажем, что формула (pq)(qp) является теоремой:
___________ _______________________ _________________________________________
|
1. pq — пос. 2. (qp) — пос. 3. p — пос. 4. q — и, 1, 3. 5. qp — в, 1, 3. 6. p — в, 2, 5. 7. p — и, 6. 8. qp — в, 7. 9. (qp) — в, 2, 8. 10. qp — и, 9. 11. (pq)(qp) — в, 10. |
Очевидно, что в ходе вышеприведённого вывода были изъяты из дальнейших его шагов: 1) формулы с третьей (p) по шестую (p), явившуюся результатом применения правила введения отрицания, 2) формулы со второй ((qp)) по девятую ((qp)), также появившуюся в результате очередного применения правила введения отрицания, 3) 10 формула (qp), к которой было применено правило введения материальной импликации, вместе с первой формулой (pq) – последней остававшейся посылкой рассуждений. Значит, был получен вывод из пустого множества неисключённых посылок, т. е. доказательство того, что формула ((pq)(qp)) – теорема.