5.2 Потенциальная помехоустойчивость при приеме двоичных сигналов.

Пусть на вход идеального приемника при наличии флуктуационных помех действует сигналы двух типов и, соответствующих передаче 1 и 0. Все параметры обоих сигналов (амплитуда, частота, фаза, длительность), а также вероятность появления каждого из сигналов известны. Неизвестно лишь, какой из сигналов принимается во время данного интервала наблюдения. Пусть передан сигнал. На него накладывается помеха(рис. 5.6)

Обозначим расстояние между точками ,черезd. Тогда при равновероятных сигналах ,указанное выше правило равносильно проверке условия или. Если, то принимается решение,что передавался 0. В противном случае - 1. Величина d однозначно определяется такими параметрами сигнала, как длительностью Т, шириной спектра и средней мощностью Р_с.

Как следует из теоремы Котельникова, любой сигнал длительностью Т, занимающий участок спектра шириной , однозначно определяетсяотсчетами, которые характеризуют ординаты, отстоящие друг от друга через интервалы Δt = 1/2F_m. Каждому такому сигналу может быть поставлена в соответствие одна точка в пространстве измерений, которое называетсяпространством сигналов, или вектор, который соединяет эту точку с началом координат. Длина (норма) этого вектора равна:

,

где x_i = f(iΔt) -координата точки i, т.е. значение сигнала в момент времени t = iΔt.

Представим функцию , которая описывает зависимость напряжения реализации сигнала, ограниченного по спектру (в пределах), рядомКотельникова:

,

где

Энергия каждого отсчета равняется:

.

Полная энергия, которая выделяется сигналом на единичном сопротивлении, равна

.

Учитывая это и учитывая ортогональность функций отсчета, легко получить:

.

Рис 5.6. Различение двоичных сигналов.

В соответствии с этим выражением можно показать, что расстояние между концами векторов и(рис.5.6), что соответствуют двум реализациям сигнала -и, имеющим одинаковые длительность Т и ширину спектра, равняется:

или

.

В соответствии с принятым правилом решения ошибка будет в том случае, если (рис. 5.6). Для принятой модели помехаимеет нормальное распределение с дисперсией. Тогда вероятность ошибки:

,

где - плотность вероятности помехи.

Рис. 5.7 К определению вероятности ошибки.

Она равная площади заштрихованного участка кривой распределения вероятностей (рис.5.7).

Выражение для может быть преобразовано к виду:

,

где ,- интеграл вероятности Гаусса.

Приняв к вниманию, что

,

получим:

,

Где ;;

- коэффициент корреляции сигналов и;

- спектральная плотность мощности помехи.

Для амплитудной модуляции . Поэтому:

;

(5.4)

Для частотной модуляции (FSK) справедливые равенства (сигналы ортогональные). Поэтому:

;

(5.5)

Для фазовой модуляции (PSK) сигналы противоположные . Тогда,

;

(5.6)

Это наименьшая вероятность ошибки для систем с полностью известными сигналами.

Максимальную потенциальную помехоустойчивость имеют системы передачи двоичных сигналов методом фазовой модуляции, наименьшую -системы с АМ.

Полученные выражения для потенциальной помехоустойчивости соответствуют условиям, при которых все параметры принимаемых сигналов (в том числе и их фазы) полностью известны. В этих условиях может быть использован когерентный метод приема, при котором возникновение ошибок обусловлено влиянием лишь одной составляющей напряжения помех (синфазной или противофазной с сигналом).

В реальных каналах связи вследствие замираний, многолучевого распространения (коротковолновая, тропосферная радиосвязь), нестабильности фазы колебаний, которые излучаются передатчиком, и других причин реализация когерентного приема встречает значительные технические трудности. Прием сигналов, когда для их различения не используется информация о фазе принимаемых колебаний, называется некогерентным. Очевидно, что последнему присуща более низкая помехоустойчивость, чем когерентному приему.

Степень приближения реальной помехоустойчивости к потенциальной зависит также от того, как меняется отношение сигнала к помехе при их прохождении через приемный тракт. Отношение мощностей сигнала и помехина выходе приемного тракта (q = P_c/P_п ) зависит от степени согласования амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик тракта со структурой и параметрами сигнала.