Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Практика ФКП

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.17 Mб
Скачать

 

 

 

 

1

 

11

 

 

 

 

3

5

 

x t et

 

 

 

 

 

e

4t

 

 

 

cost

 

 

sint,

2

34

 

 

 

 

Запишем решение системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

17

17

 

 

22

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

y t

e4t

et

 

 

cost

sint.

 

 

17

 

 

51

 

 

 

3

 

 

 

 

17

 

 

Решение интегрального уравнения типа свертки

Интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь интегральное уравнение типа свертки, т.е. уравнение вида

t

x t f t g t x d .

0

В этом уравнении интеграл является сверткой функций g t и x t (см. формулу

9 в таблице изображений) и уравнение может быть записано в виде x(t) f t g t x(t).

Переходя к изображениям получим простейшее уравнение

X(p) F p G p X(p).

Из этого уравнения следует найти изображение X p и по изображению вос-

становить оригинал x t .

t

Пример 7.8. Найти функцию x t из уравнения x(t) sint 2 cos(t )x( )d .

0

Решение. Интеграл в данном уравнении является сверткой функций cost и x t , поэтому уравнение можно записать в виде

x(t) sint 2cost x(t).

Перейдём от оригиналов к изображениям, учитывая, что

x(t) X(p),

sint

1

, cost

p

, cost x t

p

X p .

 

 

 

 

 

p2 1

p2 1

p2 1

Тогда интегральное уравнение для оригинала перейдёт в алгебраическое уравнение для изображения

X p

1

 

 

2p

X p или

X(p)

1

 

.

 

p2 1

 

(p 1)2

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

По изображению X p найдём оригинал. Так как

1

t , то

 

1

tet (по фор-

 

p2

(p 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

муле 8 в таблице изображений). Таким образом, x t tet.

Вычисление несобственных интегралов

Пусть оригинал f t

имеет изображение F p . Тогда из определения изоб-

ражения следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t e ptd t F p

 

 

 

0

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.9. Вычислить интегралы 1)

t4 e 2tdt, 2)

tcos2t e 3tdt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1). Интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t4 e 2tdt есть изображение оригинала t4

при

p 2, т.е.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t4 e 2tdt

4!

 

 

 

 

 

1 2 3 4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

p

 

 

 

p 2

 

2 4 4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь использована формула №13 из таблицы изображений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). Интеграл tcos2t e 3tdt

есть изображение оригинала tcos2t

при p 3, т.е.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 22

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tcos2t e 3tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

p2

22

2

 

p 3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

169

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь использована формула №20 из таблицы изображений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.10. Вычислить интегралы 1)

 

 

 

 

1 cost

e 2tdt,

2) t2 cost e tdt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1). Интеграл

1 cost

e 2tdt

 

 

 

есть изображение оригинала

1 cost

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2. Изображение этого оригинала было найдено в примере 7.1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cost

 

 

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

e 2tdt ln

 

 

 

 

p 2

ln

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

p

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). Интеграл

 

 

 

 

 

 

есть изображение оригинала t2 cost при

p 1. Изоб-

t2 cost e tdt

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p p2 3

 

 

 

ражение этого оригинала было найдено впримере 7.1: t2 cost

. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p p

 

 

3

 

 

 

 

 

p2 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 cost e tdt

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

 

 

 

 

1. Решить задачу Коши

x x f (t),

 

(см. рис. 25).

 

 

f t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(0) x (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2. Решить задачу Коши

 

 

x y,

 

x(0) y(0) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти функцию x t

y

2x 2y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.25

 

 

 

 

x(t) e

2 cos(t )x( )d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t 1

 

t 2

 

 

Ответы: 1)

x(t) 2

sin

2

 

 

(t) 2sin2

 

(t 1) sin2

 

(t 2)

 

;

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) x(t) et(cost 2sint) ,

y(t) et(cost 3sint);

3) x(t) cht t e t .

Библиографический список

1.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Эдиториал УРСС, 2005. Т.4. 352 с.

2.Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики / Б.К. Пчелин. М.: Высшая школа, 1972. 462 с.

3.Сидоров В.Ю. Лекции по теории функций комплексного переменного / В.Ю. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. М.: Наука, 1982. 488 с.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2004. 603 с.

5.Мышкис А.Д. Математика для технических вузов. Специальные курсы /А.Д. Мышкис. СПб.: Изд-во «Лань», 2002. 640 с.

6.Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев.М.:Наука, 1980. 946 с.

7.Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1977. 831 с.

8.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд-во Астрель», 2003. 495 с.

9.Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч.4 / под ред. А.В. Ефимова,

Б.П. Демидовича. М.: Наука, 2000. 464 с.

10.Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1977. 831 с.

43

Оглавление

1.Комплексные числа.……………………………………………………..................................3

1.1.Определение, изображение, формы записи комплексного числа…………………….....3

1.2.Действия c комплексными числами………………..………………………………….......4

2.Элементарные функции комплексного переменного………….…………………...........7

3.Дифференцируемые и аналитические функции……………..……….…………….…....11

4.Интегрирование функций комплексного переменного …………………….……..........13

5.Ряды в комплексной области……….………………………………………….....................17

5.1.Числовые ряды……………………………………………………………………..……...17

5.2.Степенные ряды…………………………………………………………………………....18

5.3.Ряды Тейлора и Лорана ………………………………..………………………….……....19

6.Вычеты функции и их применения………………………………………………… ...23

6.1.Нули функции……………………………………………………………………………..23

6.2.Особые точки функции ……………………......………………………………….……...24

6.3.Вычеты функции в ее особых точках ……………………………………………….......26

6.4.Применение вычетов к вычислению интегралов…………………………..………....29

7.Операционное исчисление…………………………………………………………………33

7.1.Оригинал и его изображение……………………………….…………………………....33

7.2.Применение операционного исчисления…………………………………......................36 Библиографический список…………………………………………………….…..……….….43

44

Учебное издание

Ревекка Максовна Минькова

Функции комплексного переменного в примерах и задачах

Редактор И.В. Коршунова

Компьютерная верстка Р.М. Миньковой

Подписано в печать

Формат 60 84 1 16

Бумага типографская

Плоская печать

Усл. печ.л.

Уч.-изд. л.

Тираж

Заказ

Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

45