Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Практика ФКП

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.17 Mб
Скачать

z

за скобку большую по модулю, т.е. 3 (рис. 13):

 

 

 

 

 

 

f (z) 1

 

5

 

1

5

 

1

1

 

5

 

1

.

 

 

 

 

 

 

z 3

3

1 z /3

3

1 z /3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получившуюсядробь

 

 

 

1

 

 

можнорассматриватькаксумму

b1

 

 

 

 

 

1

z /3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

бесконечно убывающейгеометрической прогрессии,где b1 1,

q z /3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем

 

q

 

 

 

z /3

 

 

 

z

 

/3 1.Учтем, что

 

b1 b1q b1q2 ... b1qn,

если

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3

Рис. 13

1.

Тогда

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

5

 

 

 

1 n zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 .

 

 

 

 

 

f z

1

 

 

 

 

 

 

1

z

/3

1

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1 z /3

 

 

 

 

3 n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n 0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

б). Для разложения в кольце

3

 

z

 

(рис.

14)

в знаменателе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дроби

 

 

 

5

 

 

из двух величин z и 3 вынесем за скобку большую по

0

3

 

z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модулю, теперь это z:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) 1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3

z

1 3/ z

z

1 3/ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дробь

 

 

 

 

1

 

 

 

можно рассматривать как

сумму

 

b

 

 

 

 

бесконечно убывающей

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 3/ z

 

1 q

 

геометрической прогрессии, где b1 1,

 

q 3/ z , причем

 

q

 

 

 

 

3/ z

 

3/

 

z

 

1. Учтем,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

 

 

 

b1 b1q b1q2 ...

 

b1qn, если

 

q

 

1.Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

1 n 3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3/ z

 

 

 

1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

z

 

.

 

 

 

 

 

 

 

z

1 3/ z

 

 

 

 

 

 

z

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.10. Разложить функцию f (z)

 

 

 

 

 

в ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) в окрестности точки z0 2,

2) в кольце 4

z 2

.

Решение. 1). Функция не определена в точках z1 2, z2

2. Рассто-

яние от первой из этих точек до точки

z0 2

равно 4; вторая из

этих точек совпадает с

z0 . Поэтому функция

f (z) аналитична в

кольце 0

 

z 2

 

 

4 и разлагается в этом кольце (рис. 15) в ряд Ло-

 

 

рана по степеням z 2 . Представим функцию в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

.

z

2

4

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

z 2

 

 

z 2

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2 0

2

Рис. 15

Преобразуем дробь

1

,выделиввее знаменателе z 2 :

1

 

1

.

 

z 2

z 2

z 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В знаменателе из двух величин z 2

и 4

вынесем за скобку большую по

модулю вкольце 0

 

z 2

 

4, т.е. 4

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

z 2 4

4

1 z 2 /4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

дробь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

 

 

рассматривать

 

 

как

 

 

сумму

 

 

b1

 

 

 

 

 

бесконечно

 

 

1 z 2 /4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

убывающей геометрической прогрессии,

b1 1,

 

 

 

q z 2 / 4, причем

 

q

 

 

 

z 2

 

/4 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учтем,что

 

 

 

 

b1qn, если

 

 

 

 

q

 

 

 

1.Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z 2 n

 

 

 

 

 

 

z 2 n

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

z

2

(z 2) 4

 

4

 

 

 

 

z 2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 2)n

 

 

 

 

 

n (z 2)n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

n (z 2)

n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n (z 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

2 4)2

 

z 2 2

 

 

z 2 2

 

(z 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

4n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

4n 1

 

 

 

 

 

 

 

2). В кольце 4

 

z 2

 

 

(рис.

16) преобразуем дробь

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

, вынося в ее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

z 2 4

 

 

 

 

 

 

 

знаменателе издвух величин z 2

 

и 4 большую по модулю, т.е. теперь z 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

(z 2) 4

 

 

 

(z 2)

1 4/ z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

Дробь

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно рассматривать как сумму

 

 

b1

 

 

 

бесконечно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4/

z 2

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

убывающей геометрической прогрессии, b1 1,

 

 

q 4/ z 2 , причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

4/

 

z 2

 

1.Учтем, что

 

 

 

 

 

 

 

b1qn,

 

если

 

 

q

 

1.Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4/ z 2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 2)n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

(z 2) 4

 

 

 

 

 

(z 2)

 

 

1 4/ z 2

 

 

 

 

z 2

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

(z 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

(z 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n(n 1)

 

 

 

 

 

 

4n(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

2

 

4)

2

z

2

2

 

 

z 2

2

 

(z 2)

2

 

(z 2)

n 2

 

(z 2)

n 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Разложить функцию

 

 

 

f (z)=sin 2z 1

в ряд по степеням z 1 , указать область

 

сходимости ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Разложить функцию

 

 

 

f z

 

 

 

 

 

 

 

 

в ряд и указать область сходимости ряда:

 

 

 

 

 

z2 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) в окрестности точки z0

0,

 

 

 

б) в окрестности бесконечности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Разложить функцию f (z)= f z

 

 

z 2

 

 

 

 

в ряд в кольце2

 

z 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 4z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

n

2

2n 1

(z 1)

2n 1

 

 

 

 

( 1)

n

2

2n

(z

1)

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы: 1) f (z) cos1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

z 1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2а) f (z) ( 1)n zn 1,

0

 

z

 

 

1;

2б) f (z)

( 1)

,

1

 

z

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

2

n 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n 1

 

 

3) f (z)

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

.

 

2

z 1

 

 

 

 

 

 

 

z 1

(z 1)n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0 (z 1)n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

6. Вычетыфункциииихприменения

6.1. Нули функции

Точка z a является нулем функции

f z порядка k , если функцию

f z

 

 

 

можно представить в виде

 

 

f z z a k z ,

где a 0.

(6.1)

Теорема 6.1 (о порядке нуля).

 

 

Точка z a является нулем аналитической функции f z порядка k

тогда и толь-

ко тогда, когда

 

 

f a f a ... f k 1 a 0,

f k a 0 ,

(6.2)

т.е. порядок нуля равен порядку первой отличной от нуля производной.

Пример 6.1. Найти нули функции f z z2 4 3 z 1 и определить их порядок.

Решение. Функция f z z2 4 3 z 1 имеет три нуля:

z 2i, z 2i,

z 1.

Разложим функцию f z на множители:

 

 

 

f z z 2i 3 z 2i 3 z 1 .

 

 

 

Запишем функцию f z в виде (6.1) тремя способами:

 

 

 

f z z 2i 3 z ,

где

z z 2i 3 z 1 ,

 

2i 0;

 

1

1

 

1

 

 

f z z 2i 3 2 z , где 2

z z 2i 3 z 1 ,

2 2i 0;

 

f z z 1 3 z ,

где 3 z z 2i 3 z 2i 3,

3 1i 0.

 

Отсюда следует, что z 2i , z 2i нули третьего порядка, а z 1 нуль первого порядка.

Пример 6.2. Найти нули функции f z eiz 1 4 и определить их порядок.

Решение. Найдем нули функции, учитывая, что период функции eiz равен 2 i:

23

f z eiz 1 4 0 eiz 1 izk 0 2 ki zk 2 k k 0, 1, 2... .

Определим порядок нуля сначала для функции g z eiz 1. Функцию g z за-

писать в виде (6.1) здесь не удается, но зато легко воспользоваться теоремой 6.1.

Так как g zk eizk 1 0, то точки

zk

2 k

являются нулями первого порядка

для функции g z eiz

1, т.е.

 

 

эту

функцию можно

представить в

виде

g z eiz 1 z zk z ,

zk 0. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

f z eiz 1 4 z zk 4 4 z , 4 zk 0.

 

 

 

 

 

 

Поэтому точки zk 2 k являются нулями четвертого порядка для функции

f z .

Пример 6.3. Определить порядок нуля z

 

0 для функции f

z 2cosz3 z6 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Воспользуемся разложением в ряд функции cosz :

 

 

 

 

 

 

 

cosz 1

z

2

 

 

 

z4

 

z6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

4!

 

 

6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

6

 

12

 

18

 

 

1

 

z

6

 

 

f z 2cosz3 z6 2 2 1

 

 

 

z

 

 

 

z

... z6 2 z12

 

 

... .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

4!

 

6!

 

 

4!

6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, функция представима в виде (6.1):

 

 

1

 

z

6

 

 

 

 

1

 

f z z12 z ,

где 0

 

 

...

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

4!

6!

 

 

z 0

 

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому z0 0 является для функции f z 2cosz3 z6 2 нулем порядка k 12.

Отметим, что для отыскания порядка нуля по порядку первой отличной от нуля производной (по теореме 6.1) пришлось бы дифференцировать функцию 12 раз.

6.2. Особые точки функции

Особые точки функции − это точки, в которых нарушается ее аналитичность. Различают три типа изолированных особых точек.

1). Если

lim

f z − конечен, то z0 называют устранимой особой точкой.

 

 

z z 0

f z , то z0

называют полюсом.

 

2). Если

lim

 

3). Если

z z0

f z не существует, то z0 называют существенно особой точкой.

lim

 

z z 0

 

 

 

Порядок полюса − это

натуральное число k , такое, что lim f z z z

k

 

 

 

0

 

 

 

 

z z0

 

отличен от нуля и бесконечности. Более удобно определять порядок полюса, используя связь полюса с нулями.

Теорема6.2. Пусть z0 естьнульпорядка k функции z и нульпорядка n функции

z ; тогда для функции f z z точка z есть полюс порядка n k , если k n ,

z

0

 

и устранимая особая точка, если k n.

 

 

 

 

24

Замечание

 

 

0 z

 

 

 

Если z

0

0, то можно записать z z z

0

и считать z нулем функции

 

 

 

 

 

 

0

 

z порядка k 0. Теорема 6.2 остается справедливой и в этом случае.

 

 

 

Пример 6.4. Определить типы особых точек функций

 

 

 

 

1) f z eiz 1 4 , 2) f z eiz 1 4

, 3) f z

1

.

 

 

eiz 1 4

 

 

z4

z 2 5

 

 

 

Решение.

 

 

f z eiz

1 4

 

 

 

1). Нуль знаменателя z0 0 функции

является для числителя ну-

 

 

 

 

 

z4

 

 

 

лем порядка k 4 (см. пример 6.2), и для знаменателя нулем порядка n 4. Так как k n, то по теореме 6.2 точка z0 0 является устранимой особой точкой для функции f z .

2). Нуль знаменателя z 2 функции

f z eiz 1 4

является для числителя

 

0

 

 

z 2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

нулем порядка k 4

(пример 6.2),

а для знаменателя нулем порядка

n 5. Так

как n k , то по

теореме 6.2

точка

z0 2

является полюсом

порядка

n k 5 4 1 для функции f z .

 

 

 

 

 

 

 

3). Нули знаменателя zk 2 k функции

f z

 

1

для числителя равного

eiz

1 4

 

 

 

 

 

 

 

1 z zk 0 являются нулями порядка

k 0 , а для знаменателя нулями порядка

n 4. Так как n k , то по теореме 6.2

точки zk 2 k являются полюсами поряд-

ка n k 4 0 4 для функции f z .

 

 

 

 

 

 

Тип особой точки можно также охарактеризовать через разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Теорема 6.3. 1). Если в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z0 нет отрицательных степеней z z0 , т.е. f z c0 c1 z z0 c2 z z0 2 ,

то z0 является устранимой особой точкой;

2) если ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, т.е.

f z

c k

 

c 1

c

 

c

z z

c

 

0 , то z являетсяполюсомпорядка k ;

z z0 k

z z0

 

k

 

 

 

0

1

0

 

0

3) если ряд Лорана содержит бесконечно много отрицательных степенейz z0 , то z0 является существенно особой точкой.

Пример6.5.Определитьтипособойточкифункции f (z) z5 sin 1 . z2

25

Решение. Точка z 0 является особой точкой для функции

f (z) z5 sin

1

.

 

Ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0 имеет вид

 

z2

 

 

 

 

5

1

 

5 1

1

1

 

3

 

1

 

1

....,

f (z) z

 

sin

 

z

 

 

 

 

 

 

..... z

 

 

 

 

 

 

z2

 

3!z6

5!z10

 

3!z

5!z5

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. содержит бесконечно много отрицательных степеней z; поэтому точка z 0 является существенно особой точкой данной функции.

6.3. Вычеты функции в ее особых точках

Вычет функции f z

в ее особой точке z0

есть число, равное коэффициенту

c 1 разложения функции f

z

в ряд Лорана в окрестности точки z0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

Выч f z c 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В устранимой особой точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.4)

 

 

 

 

 

 

 

Выч f z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В полюсе первого порядка

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч f z

 

lim

f z z z0

;

 

 

 

 

(6.5)

 

 

 

z z0

 

 

 

 

z z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

z

 

 

 

, если

 

 

(6.6)

 

 

 

 

 

 

Выч

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, z

 

 

 

 

 

 

z z0

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

z

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

В полюсе к-го порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч f

 

z

 

 

1

 

 

 

lim

 

d k 1

 

f

 

z

 

 

 

z z

0

k

 

.

(6.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

k 1 ! z z0 dzk 1

 

 

 

 

 

 

Пример 6.6. Найти вычеты в особых точках для функций:

1) f z eiz 1 4

, 2)

f z eiz 1 4

, 3)

f (z) z5 sin

1

, 4)

f (z) z2 sin6

1

.

z4

 

z 2 5

 

 

z2

 

 

z

Решение. 1). Особая точка z0 0 является устранимой особой точкой для функ-

ции f z eiz

1 4

(см. пример 6.4). Поэтому

Выч f z 0.

 

z4

 

z z0

 

 

2). Особая точка

z0 2 является полюсом первого

порядка для

функции

f z eiz 1 4

 

(см. пример 6.4). Формула

(6.6) здесь

неприменима,

так как

z 2 5

 

 

 

 

 

 

z0 eiz 1 4

 

z0 2 0. Поэтому применим формулу (6.5):

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

f z z 2

 

eiz 1 4

 

 

 

 

 

 

i z

1

4

 

Выч f z

lim

lim

z 2 5

z 2

lim

 

e

 

 

 

 

 

 

z 2

z 2

 

 

 

z 2

 

 

 

 

z 2 z 2

 

 

 

 

 

ei z 1

4

 

ieiz 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 i

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

lim

 

e

 

e

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2 z 2

 

z 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3). Точка z 0 является особой точкой для функции

f (z) z5 sin

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

Ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0 имеет вид (см. пример 6.5):

 

 

f (z) z5 sin

1

z3

1

 

1

 

.....

 

 

z2

3!z

5!z5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому Выч f z c

 

 

1

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

1

3!

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4). Точка z 0 является особой точкой для функции

f (z) z2 sin6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

Так как функция четная, то ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0

не содержит нечетных степеней z, в частности,

 

не содержит

1

; поэтому коэф-

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

фициент c

 

 

при

 

равен нулю и, значит,

Выч f z c

1

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.7. Найти вычеты в особых точках для функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) f (z) ctgz , 2)

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1). Для функции

 

 

 

f (z) ctgz

 

 

 

найдем особые точки:

 

 

sinz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinz 0

zk

k k 0, 1, 2... .

 

 

 

 

 

 

 

Так как coszk 0,

 

sinzk

0,

 

 

 

 

 

 

 

, товыгодноприменить формулу (6.5):

 

sinzk 0

 

 

 

 

 

 

 

Выч f (z) Выч

cosz

 

 

 

 

 

cosz

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z zk

 

 

 

 

 

z zk

sinz

sinz

 

z zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). Для функции

f (z)

z3

 

 

 

найдем особые точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 1 0 z2 1 z i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как z3

 

z i 0, 1 z2

 

z i 0,

1 z2

 

 

z i 0 ,

то выгодно применить фор-

 

 

 

 

мулу (6.5):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч f (z) Выч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z i

 

z i 1 z2

 

1 z2

 

z i

 

 

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z

1

 

Пример 6.8. Найти вычеты в особых точках для функции

.

 

 

z e2z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем особые точки функции, учитывая период T 2 i функции ez :

 

z e2z 1 0

z0 0, 2zk 0 2 ki

z0 0, zk ki

k 1, 2,... .

1). Исследуем особые точки zk ki

k 1, 2,... . Функцию выгодно записать в

 

f z

1/ z

 

 

 

1 0, e2z 1 0 , то

виде

 

.

Так как в точках

zk

имеем 1/ z 0, e2z

e2z 1

применима формула (6.6):

Выч f (z) Выч

1/ z

 

 

1/ z

e

2z

1

e2z

 

z z

 

z z

 

 

 

k

 

k

 

 

1

2). Исследуем особую точку z0 0 функции

zzk

f z

1

 

1

.

2zke2zk

2 ki

1

z e2z 1 .

Эта

точка

 

для

 

функции

 

e2z 1 является нулем

первого порядка,

так

как

e2z 1 2e2z

z 0

0; поэтому

e2z 1 z 0 z z z , где 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e2z

1 z2 z , где 0 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует,

что z0 0

является для знаменателя нулем порядка

n 2. Для

числителя равного 1 z z

0

точка

z 0

является нулем порядка k 0 . Поэто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

му по теореме 6.2 точка

 

z0 0

является полюсом порядка n k 2 0 2

для

функции f z . Вычет функции в этой точке вычислим по формуле (6.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

2z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

e

1

z 2e

Выч f (z)

 

lim

f (z) (z z

)

2

lim

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z

1!

z z

 

 

 

0

 

 

z 0

 

2z

 

 

 

z 0

 

2z

1

z 0

 

 

 

e

2z

1

2

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e

 

 

1

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили неопределенность вида

0

. Для ее раскрытия учтем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2z 1

2z

 

2z 2

 

2z 3

...

 

 

 

e2z 1 2z o z ,

e2z 1 2z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

2!

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Под знаком предела знаменатель e2z 1 2

заменим на эквивалентную бесконеч-

но малую 4z2 . Тогда

1 z 2e2z

 

 

 

 

2z 2z2 4z3 /3 ... 2z 1 2z 2z2 ...

 

 

 

Выч f (z) lim

e2z

lim

 

 

 

 

 

e2z 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

z 0

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

2z2 8z3

 

/3 ...

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

Определить тип особых точек следующих функций и найти вычеты в этих точках:

1) f (z)

 

z

; 2) f (z) zcos

1

;

3) f (z)

sh z2

.

 

z

5 2z4 z3

 

z

 

z

 

 

 

28

 

 

 

 

 

Ответы: 1) z 0,

 

z 1

– полюсы второго порядка, Выч f (z) 2 ,

Выч f (z) 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

z 1

2)

z – существенно особая точка, Выч f (z)

1

;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

3)

z 0 устранимая особая точка, Выч f (z) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=0

 

 

 

 

 

 

6.4. Применение вычетов к вычислению интегралов

 

 

 

Вычисление интегралов f z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

Пусть функция

f z

является аналитической в замкнутой области D с границей

L заисключениемособых точек z1,

z2,

,zn,лежащихвнутри D.Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

z

 

 

 

z

Выч f

z

Выч f

z

 

 

.

(6.8)

 

dz 2 i Выч f

 

 

 

 

 

z z1

 

z z2

 

z zn

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.9. Вычислить интеграл

 

 

tg z

dz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|z | 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Построим контур интегрирования

 

z

 

 

 

2. Это – окруж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность с центром в начале координат радиусом R 2. (рис.17). В

/

2 0 / 2 x

области D:

 

z

 

2

 

функция

f (z)

tgz

 

 

 

аналитична всюду, кроме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1 ,

 

 

 

 

точек

z 0, z

,

 

z

;

другие особые

точки

 

 

zk

 

 

 

 

Рис.17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1, 2, 3... лежат вне области и поэтому не учитываются. Точка

 

 

 

 

z 0 является устранимой особой точкой, т.к.

 

 

 

lim

tgz

1. Поэтому Выч f (z) 0.

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=0

 

Для вычисления вычета в точках z

,

 

z

 

 

 

 

воспользуемся тем, что

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч

 

 

 

 

 

в случае, когда z0 0, z0 0, z0 0.

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z / z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому представим функцию в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, проверим выполне-

 

 

 

z

 

 

 

 

cosz

z

ние условий

 

 

 

sin /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0,

 

2

cos

 

2 0, z0 sin 2

0 и

 

 

 

/2

 

 

 

вычислим вычет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч

 

 

 

z

 

 

/2

 

sin z / z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

z /2

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z /2

 

 

 

z /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

tgz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz 2 i

 

Выч f (z) Выч

 

f (z) Выч f (z)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

z /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.10. Вычислить интеграл

 

 

z2 1

sh

1

dz,

 

если L : z 1 4eit, t 0,2 .

 

 

 

z i

 

z

 

(L)

29

Решение. Построим контур L – окружность с центром в точке

 

 

 

z0 1 и радиусом 4 (рис.18). Найдем особые точки функции

 

y

 

f z

z2 1

1

. Это точки z 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

 

 

 

 

 

 

 

i

x

z i

z

 

 

 

 

 

 

z i ; они расположены внутри области D :

 

z

 

4, поэтому

3

0 1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)dz 2 i

z 0

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч f z Выч f z .

 

 

 

 

 

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.18

 

Для вычисления вычета функции

f (z) в точке z 0 разложим

 

 

 

 

 

функцию в ряд в окрестности этой точки:

 

z

2

1 1

 

 

(z i) (z i) 1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

i

 

1

 

 

i

 

 

f z

 

 

 

(z i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

 

 

 

 

sh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.....

1

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

2

 

3

 

z i

 

z

 

 

z i

 

z

 

 

 

 

3!z

 

5!z

 

 

z

 

3!z

 

3!z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, Выч f z c 1 i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления вычета функции

f (z) в точке z i

определим тип особой точ-

ки. Точка z i

является устранимой особой точкой, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z i z i

1

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (z) lim

 

sh

 

lim z i sh

 

 

 

2i sh

 

 

 

2i

sh i 2i

2

sin1 2sin1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z i

z i

z i

 

z

z i

 

 

 

 

z

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому Выч f (z) 0 и

 

f (z)dz 2 i

Выч f z Выч f z

2 i i 0 2 .

 

 

z i

 

 

 

z 0

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.11. Вычислить интеграл

 

 

 

 

 

 

zdz

 

 

 

 

 

,

где L :

(x 1)2

 

y2

1.

 

z

2

(1 3i)z

3i

2

1

 

9

 

 

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Контур L есть эллипс с центром в точке 1;0 и полу-

осями a 1, b 3 (рис.19). Найдем особые точки подынтегральной

функции

f (z),

решив уравнение z2 (1 3i)z 3i 0 . По теореме

Виета корни уравнения равны z 1,

z 3i. Внутрь контура попада-

ет только одна особая точка

z 1. Это –

полюс второго порядка,

т.к f z

 

 

z

 

 

. Поэтому по формуле (6.7) при k 2 имеем

(z 1)2 (z 3 i)2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (z 1)

 

 

 

z

 

 

 

3i z

 

7 24i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выч f (z) lim

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

lim

 

 

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

z 1

z 1

 

(z 3i)

2

z 1

(z 3i)

2

z 1

(z 3i)

 

250

 

(z 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

3i

0 1 2 x

Рис.19

Следовательно,

 

 

 

 

zdz

 

 

 

2 i Выч f z 2 i 7 24i

 

24 7i

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

(1

3i)z 3i

2

 

 

 

 

z 1

 

 

 

250

 

 

 

125

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интегралы:

 

 

 

ezdz

 

 

 

 

 

zdz

, z

2

 

1

L :

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

sin

z dz,

 

 

 

 

1.

 

z3

iz2

sin z

 

4

9

 

 

 

 

 

z i

3

 

 

 

 

 

 

z

4

L

 

 

 

 

 

 

 

 

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы: 2 i ;

2

2i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30