Практика ФКП
.pdfz
за скобку большую по модулю, т.е. 3 (рис. 13):
|
|
|
|
|
|
f (z) 1 |
|
5 |
|
1 |
5 |
|
1 |
1 |
|
5 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
z 3 |
3 |
1 z /3 |
3 |
1 z /3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получившуюсядробь |
|
|
|
1 |
|
|
можнорассматриватькаксумму |
b1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
z /3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
||||||||
бесконечно убывающейгеометрической прогрессии,где b1 1, |
q z /3, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем |
|
q |
|
|
|
z /3 |
|
|
|
z |
|
/3 1.Учтем, что |
|
b1 b1q b1q2 ... b1qn, |
если |
|
q |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 q |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3
Рис. 13
1.
Тогда
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 n zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f z |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
z |
/3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 z /3 |
|
|
|
|
3 n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n 0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||
б). Для разложения в кольце |
3 |
|
z |
|
(рис. |
14) |
в знаменателе |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дроби |
|
|
|
5 |
|
|
из двух величин z и 3 вынесем за скобку большую по |
0 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
модулю, теперь это z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) 1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 |
z |
1 3/ z |
z |
1 3/ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дробь |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
можно рассматривать как |
сумму |
|
b |
|
|
|
|
бесконечно убывающей |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 3/ z |
|
1 q |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
геометрической прогрессии, где b1 1, |
|
q 3/ z , причем |
|
q |
|
|
|
|
3/ z |
|
3/ |
|
z |
|
1. Учтем, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
b1 b1q b1q2 ... |
|
b1qn, если |
|
q |
|
1.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (z) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3/ z |
|
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
z |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 3/ z |
|
|
|
|
|
|
z |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 5.10. Разложить функцию f (z) |
|
|
|
|
|
в ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) в окрестности точки z0 2, |
2) в кольце 4 |
z 2 |
. |
Решение. 1). Функция не определена в точках z1 2, z2 |
2. Рассто- |
||||||||||||||||||||
яние от первой из этих точек до точки |
z0 2 |
равно 4; вторая из |
|||||||||||||||||||
этих точек совпадает с |
z0 . Поэтому функция |
f (z) аналитична в |
|||||||||||||||||||
кольце 0 |
|
z 2 |
|
|
4 и разлагается в этом кольце (рис. 15) в ряд Ло- |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
рана по степеням z 2 . Представим функцию в виде: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|||
z |
2 |
4 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
z 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
2 0 |
2 |
Рис. 15
Преобразуем дробь |
1 |
,выделиввее знаменателе z 2 : |
1 |
|
1 |
. |
|||||
|
z 2 |
z 2 |
z 2 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В знаменателе из двух величин z 2 |
и 4 |
вынесем за скобку большую по |
|||||||||
модулю вкольце 0 |
|
z 2 |
|
4, т.е. 4 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
z 2 4 |
4 |
1 z 2 /4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
дробь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
|
|
рассматривать |
|
|
как |
|
|
сумму |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
бесконечно |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 z 2 /4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
убывающей геометрической прогрессии, |
b1 1, |
|
|
|
q z 2 / 4, причем |
|
q |
|
|
|
z 2 |
|
/4 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учтем,что |
|
|
|
|
b1qn, если |
|
|
|
|
q |
|
|
|
1.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z 2 n |
|
|
|
|
|
|
z 2 n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
(z 2) 4 |
|
4 |
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 2)n |
|
|
|
|
|
n (z 2)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n (z 2) |
n 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(z |
2 4)2 |
|
z 2 2 |
|
|
z 2 2 |
|
(z 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). В кольце 4 |
|
z 2 |
|
|
(рис. |
16) преобразуем дробь |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, вынося в ее |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2 |
|
z 2 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателе издвух величин z 2 |
|
и 4 большую по модулю, т.е. теперь z 2 : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
(z 2) 4 |
|
|
|
(z 2) |
1 4/ z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дробь |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно рассматривать как сумму |
|
|
b1 |
|
|
|
бесконечно |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 4/ |
z 2 |
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
убывающей геометрической прогрессии, b1 1, |
|
|
q 4/ z 2 , причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
|
4/ |
|
z 2 |
|
1.Учтем, что |
|
|
|
|
|
|
|
b1qn, |
|
если |
|
|
q |
|
1.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 16 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4/ z 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 2)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 |
|
|
(z 2) 4 |
|
|
|
|
|
(z 2) |
|
|
1 4/ z 2 |
|
|
|
|
z 2 |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
(z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
(z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
4n(n 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
2 |
|
4) |
2 |
z |
2 |
2 |
|
|
z 2 |
2 |
|
(z 2) |
2 |
|
(z 2) |
n 2 |
|
(z 2) |
n 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Разложить функцию |
|
|
|
f (z)=sin 2z 1 |
в ряд по степеням z 1 , указать область |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. Разложить функцию |
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд и указать область сходимости ряда: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) в окрестности точки z0 |
0, |
|
|
|
б) в окрестности бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Разложить функцию f (z)= f z |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
в ряд в кольце2 |
|
z 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 4z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( 1) |
n |
2 |
2n 1 |
(z 1) |
2n 1 |
|
|
|
|
( 1) |
n |
2 |
2n |
(z |
1) |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответы: 1) f (z) cos1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
z 1 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2а) f (z) ( 1)n zn 1, |
0 |
|
z |
|
|
1; |
2б) f (z) |
( 1) |
, |
1 |
|
z |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 1 |
|
|||||||||||
|
3) f (z) |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
(z 1)n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 (z 1)n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
6. Вычетыфункциииихприменения
6.1. Нули функции
Точка z a является нулем функции |
f z порядка k , если функцию |
f z |
|
|
|
можно представить в виде |
|
|
f z z a k z , |
где a 0. |
(6.1) |
Теорема 6.1 (о порядке нуля). |
|
|
Точка z a является нулем аналитической функции f z порядка k |
тогда и толь- |
|
ко тогда, когда |
|
|
f a f a ... f k 1 a 0, |
f k a 0 , |
(6.2) |
т.е. порядок нуля равен порядку первой отличной от нуля производной.
Пример 6.1. Найти нули функции f z z2 4 3 z 1 и определить их порядок.
Решение. Функция f z z2 4 3 z 1 имеет три нуля: |
z 2i, z 2i, |
z 1. |
|||
Разложим функцию f z на множители: |
|
|
|
||
f z z 2i 3 z 2i 3 z 1 . |
|
|
|
||
Запишем функцию f z в виде (6.1) тремя способами: |
|
|
|
||
f z z 2i 3 z , |
где |
z z 2i 3 z 1 , |
|
2i 0; |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
f z z 2i 3 2 z , где 2 |
z z 2i 3 z 1 , |
2 2i 0; |
|
||
f z z 1 3 z , |
где 3 z z 2i 3 z 2i 3, |
3 1i 0. |
|
Отсюда следует, что z 2i , z 2i нули третьего порядка, а z 1 нуль первого порядка.
Пример 6.2. Найти нули функции f z eiz 1 4 и определить их порядок.
Решение. Найдем нули функции, учитывая, что период функции eiz равен 2 i:
23
f z eiz 1 4 0 eiz 1 izk 0 2 ki zk 2 k k 0, 1, 2... .
Определим порядок нуля сначала для функции g z eiz 1. Функцию g z за-
писать в виде (6.1) здесь не удается, но зато легко воспользоваться теоремой 6.1.
Так как g zk eizk 1 0, то точки |
zk |
2 k |
являются нулями первого порядка |
||||||||||||||||||||
для функции g z eiz |
1, т.е. |
|
|
эту |
функцию можно |
представить в |
виде |
||||||||||||||||
g z eiz 1 z zk z , |
zk 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f z eiz 1 4 z zk 4 4 z , 4 zk 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Поэтому точки zk 2 k являются нулями четвертого порядка для функции |
f z . |
||||||||||||||||||||||
Пример 6.3. Определить порядок нуля z |
|
0 для функции f |
z 2cosz3 z6 2. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся разложением в ряд функции cosz : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cosz 1 |
z |
2 |
|
|
|
z4 |
|
z6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2! |
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z |
6 |
|
12 |
|
18 |
|
|
1 |
|
z |
6 |
|
|
||||||
f z 2cosz3 z6 2 2 1 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
... z6 2 z12 |
|
|
... . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2! |
|
4! |
|
6! |
|
|
4! |
6! |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция представима в виде (6.1):
|
|
1 |
|
z |
6 |
|
|
|
|
1 |
|
f z z12 z , |
где 0 |
|
|
... |
|
|
|
0. |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
4! |
6! |
|
|
z 0 |
|
4! |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Поэтому z0 0 является для функции f z 2cosz3 z6 2 нулем порядка k 12.
Отметим, что для отыскания порядка нуля по порядку первой отличной от нуля производной (по теореме 6.1) пришлось бы дифференцировать функцию 12 раз.
6.2. Особые точки функции
Особые точки функции − это точки, в которых нарушается ее аналитичность. Различают три типа изолированных особых точек.
1). Если |
lim |
f z − конечен, то z0 называют устранимой особой точкой. |
|
|
|
z z 0 |
f z , то z0 |
называют полюсом. |
|
2). Если |
lim |
|
||
3). Если |
z z0 |
f z не существует, то z0 называют существенно особой точкой. |
||
lim |
||||
|
z z 0 |
|
|
|
Порядок полюса − это |
натуральное число k , такое, что lim f z z z |
k |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
z z0 |
|
отличен от нуля и бесконечности. Более удобно определять порядок полюса, используя связь полюса с нулями.
Теорема6.2. Пусть z0 естьнульпорядка k функции z и нульпорядка n функции
z ; тогда для функции f z z точка z есть полюс порядка n k , если k n ,
z |
0 |
|
|
и устранимая особая точка, если k n. |
|
|
|
|
24 |
Замечание |
|
|
0 z |
|
|
|
|||
Если z |
0 |
0, то можно записать z z z |
0 |
и считать z нулем функции |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
z порядка k 0. Теорема 6.2 остается справедливой и в этом случае. |
|||||||||
|
|
|
|||||||
Пример 6.4. Определить типы особых точек функций |
|
|
|||||||
|
|
1) f z eiz 1 4 , 2) f z eiz 1 4 |
, 3) f z |
1 |
. |
||||
|
|
eiz 1 4 |
|||||||
|
|
z4 |
z 2 5 |
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
f z eiz |
1 4 |
|
|
|
||
1). Нуль знаменателя z0 0 функции |
является для числителя ну- |
||||||||
|
|
|
|
|
z4 |
|
|
|
лем порядка k 4 (см. пример 6.2), и для знаменателя нулем порядка n 4. Так как k n, то по теореме 6.2 точка z0 0 является устранимой особой точкой для функции f z .
2). Нуль знаменателя z 2 функции |
f z eiz 1 4 |
является для числителя |
|||||||
|
0 |
|
|
z 2 5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
нулем порядка k 4 |
(пример 6.2), |
а для знаменателя нулем порядка |
n 5. Так |
||||||
как n k , то по |
теореме 6.2 |
точка |
z0 2 |
является полюсом |
порядка |
||||
n k 5 4 1 для функции f z . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3). Нули знаменателя zk 2 k функции |
f z |
|
1 |
для числителя равного |
|||||
eiz |
1 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 z zk 0 являются нулями порядка |
k 0 , а для знаменателя нулями порядка |
||||||||
n 4. Так как n k , то по теореме 6.2 |
точки zk 2 k являются полюсами поряд- |
||||||||
ка n k 4 0 4 для функции f z . |
|
|
|
|
|
|
Тип особой точки можно также охарактеризовать через разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.
Теорема 6.3. 1). Если в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z0 нет отрицательных степеней z z0 , т.е. f z c0 c1 z z0 c2 z z0 2 ,
то z0 является устранимой особой точкой;
2) если ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, т.е.
f z |
c k |
|
c 1 |
c |
|
c |
z z |
c |
|
0 , то z являетсяполюсомпорядка k ; |
z z0 k |
z z0 |
|
k |
|||||||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
3) если ряд Лорана содержит бесконечно много отрицательных степенейz z0 , то z0 является существенно особой точкой.
Пример6.5.Определитьтипособойточкифункции f (z) z5 sin 1 . z2
25
Решение. Точка z 0 является особой точкой для функции |
f (z) z5 sin |
1 |
. |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
Ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0 имеет вид |
|
z2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
1 |
|
5 1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
...., |
||||||
f (z) z |
|
sin |
|
z |
|
|
|
|
|
|
..... z |
|
|
|
|
|
|||
|
z2 |
|
3!z6 |
5!z10 |
|
3!z |
5!z5 |
||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. содержит бесконечно много отрицательных степеней z; поэтому точка z 0 является существенно особой точкой данной функции.
6.3. Вычеты функции в ее особых точках
Вычет функции f z |
в ее особой точке z0 |
есть число, равное коэффициенту |
||||||||||||||||||||||||||||||
c 1 разложения функции f |
z |
в ряд Лорана в окрестности точки z0 : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Выч f z c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В устранимой особой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Выч f z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В полюсе первого порядка |
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Выч f z |
|
lim |
f z z z0 |
; |
|
|
|
|
(6.5) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
z z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
, если |
|
|
(6.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Выч |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
В полюсе к-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Выч f |
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
lim |
|
d k 1 |
|
f |
|
z |
|
|
|
z z |
0 |
k |
|
. |
(6.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z z0 |
|
|
k 1 ! z z0 dzk 1 |
|
|
|
|
|
|
Пример 6.6. Найти вычеты в особых точках для функций:
1) f z eiz 1 4 |
, 2) |
f z eiz 1 4 |
, 3) |
f (z) z5 sin |
1 |
, 4) |
f (z) z2 sin6 |
1 |
. |
z4 |
|
z 2 5 |
|
|
z2 |
|
|
z |
Решение. 1). Особая точка z0 0 является устранимой особой точкой для функ-
ции f z eiz |
1 4 |
(см. пример 6.4). Поэтому |
Выч f z 0. |
|
||
z4 |
|
z z0 |
|
|
||
2). Особая точка |
z0 2 является полюсом первого |
порядка для |
функции |
|||
f z eiz 1 4 |
|
(см. пример 6.4). Формула |
(6.6) здесь |
неприменима, |
так как |
|
z 2 5 |
|
|
|
|
|
|
z0 eiz 1 4 |
|
z0 2 0. Поэтому применим формулу (6.5): |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
f z z 2 |
|
eiz 1 4 |
|
|
|
|
|
|
i z |
1 |
4 |
|
|||
Выч f z |
lim |
lim |
z 2 5 |
z 2 |
lim |
|
e |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
z 2 |
z 2 |
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
z 2 z 2 |
|
|
|||||
|
|
|
ei z 1 |
4 |
|
ieiz 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 i |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
|
|
lim |
|
e |
|
e |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z 2 z 2 |
|
z 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). Точка z 0 является особой точкой для функции |
f (z) z5 sin |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
Ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0 имеет вид (см. пример 6.5):
|
|
f (z) z5 sin |
1 |
z3 |
1 |
|
1 |
|
..... |
|||||
|
|
z2 |
3!z |
5!z5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому Выч f z c |
|
|
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z 0 |
1 |
3! |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
4). Точка z 0 является особой точкой для функции |
f (z) z2 sin6 |
. |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
Так как функция четная, то ряд Лорана этой функции в окрестности точки z 0
не содержит нечетных степеней z, в частности, |
|
не содержит |
1 |
; поэтому коэф- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||
фициент c |
|
|
при |
|
равен нулю и, значит, |
Выч f z c |
1 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 6.7. Найти вычеты в особых точках для функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) f (z) ctgz , 2) |
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. 1). Для функции |
|
|
|
f (z) ctgz |
|
|
|
найдем особые точки: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sinz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sinz 0 |
zk |
k k 0, 1, 2... . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Так как coszk 0, |
|
sinzk |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
, товыгодноприменить формулу (6.5): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinzk 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Выч f (z) Выч |
cosz |
|
|
|
|
|
cosz |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z zk |
|
|
|
|
|
z zk |
sinz |
sinz |
|
z zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2). Для функции |
f (z) |
z3 |
|
|
|
найдем особые точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 0 z2 1 z i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Так как z3 |
|
z i 0, 1 z2 |
|
z i 0, |
1 z2 |
|
|
z i 0 , |
то выгодно применить фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мулу (6.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Выч f (z) Выч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
z i |
|
z i 1 z2 |
|
1 z2 |
|
z i |
|
|
|
|
|
|
z i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
Пример 6.8. Найти вычеты в особых точках для функции |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z e2z 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем особые точки функции, учитывая период T 2 i функции ez :
|
z e2z 1 0 |
z0 0, 2zk 0 2 ki |
z0 0, zk ki |
k 1, 2,... . |
|||
1). Исследуем особые точки zk ki |
k 1, 2,... . Функцию выгодно записать в |
||||||
|
f z |
1/ z |
|
|
|
1 0, e2z 1 0 , то |
|
виде |
|
. |
Так как в точках |
zk |
имеем 1/ z 0, e2z |
||
e2z 1 |
применима формула (6.6):
Выч f (z) Выч |
1/ z |
|
|
1/ z |
|||||||
e |
2z |
1 |
e2z |
|
|||||||
z z |
|
z z |
|
|
|||||||
|
k |
|
k |
|
|
1 |
2). Исследуем особую точку z0 0 функции
zzk
f z
1 |
|
1 |
. |
2zke2zk |
2 ki |
1
z e2z 1 .
Эта |
точка |
|
для |
|
функции |
|
e2z 1 является нулем |
первого порядка, |
так |
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||
e2z 1 2e2z |
z 0 |
0; поэтому |
e2z 1 z 0 z z z , где 0 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e2z |
1 z2 z , где 0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Отсюда следует, |
что z0 0 |
является для знаменателя нулем порядка |
n 2. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числителя равного 1 z z |
0 |
точка |
z 0 |
является нулем порядка k 0 . Поэто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
му по теореме 6.2 точка |
|
z0 0 |
является полюсом порядка n k 2 0 2 |
для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции f z . Вычет функции в этой точке вычислим по формуле (6.7): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
2z |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
e |
1 |
z 2e |
||||||||||||
Выч f (z) |
|
lim |
f (z) (z z |
) |
2 |
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z z |
1! |
z z |
|
|
|
0 |
|
|
z 0 |
|
2z |
|
|
|
z 0 |
|
2z |
1 |
z 0 |
|
|
|
e |
2z |
1 |
2 |
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e |
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Получили неопределенность вида |
0 |
. Для ее раскрытия учтем, что |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e2z 1 |
2z |
|
2z 2 |
|
2z 3 |
... |
|
|
|
e2z 1 2z o z , |
e2z 1 2z. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Под знаком предела знаменатель e2z 1 2 |
заменим на эквивалентную бесконеч- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но малую 4z2 . Тогда |
1 z 2e2z |
|
|
|
|
2z 2z2 4z3 /3 ... 2z 1 2z 2z2 ... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Выч f (z) lim |
e2z |
lim |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e2z 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z 0 |
|
z 0 |
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2z2 8z3 |
|
/3 ... |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения
Определить тип особых точек следующих функций и найти вычеты в этих точках:
1) f (z) |
|
z |
; 2) f (z) zcos |
1 |
; |
3) f (z) |
sh z2 |
. |
|
z |
5 2z4 z3 |
|
z |
|
z |
||
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
Ответы: 1) z 0, |
|
z 1 |
– полюсы второго порядка, Выч f (z) 2 , |
Выч f (z) 2; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
z 1 |
2) |
z – существенно особая точка, Выч f (z) |
1 |
; |
|
||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
3) |
z 0 устранимая особая точка, Выч f (z) 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
6.4. Применение вычетов к вычислению интегралов |
||||||||||||||||
|
|
|
Вычисление интегралов f z dz |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
f z |
является аналитической в замкнутой области D с границей |
||||||||||||||
L заисключениемособых точек z1, |
z2, |
,zn,лежащихвнутри D.Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z |
|
|
|
z |
Выч f |
z |
Выч f |
z |
|
|
. |
(6.8) |
|
|
dz 2 i Выч f |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z z1 |
|
z z2 |
|
z zn |
|
|
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.9. Вычислить интеграл |
|
|
tg z |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|z | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Построим контур интегрирования |
|
z |
|
|
|
2. Это – окруж- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность с центром в начале координат радиусом R 2. (рис.17). В |
/ |
2 0 / 2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
области D: |
|
z |
|
2 |
|
функция |
f (z) |
tgz |
|
|
|
аналитична всюду, кроме |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 , |
|
|
|
|
|||||
точек |
z 0, z |
, |
|
z |
; |
другие особые |
точки |
|
|
zk |
|
|
|
|
Рис.17 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k 1, 2, 3... лежат вне области и поэтому не учитываются. Точка |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 0 является устранимой особой точкой, т.к. |
|
|
|
lim |
tgz |
1. Поэтому Выч f (z) 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
||||||||
Для вычисления вычета в точках z |
, |
|
z |
|
|
|
|
воспользуемся тем, что |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Выч |
|
|
|
|
|
в случае, когда z0 0, z0 0, z0 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z z0 |
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z / z |
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Поэтому представим функцию в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, проверим выполне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
cosz |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние условий |
|
|
|
sin /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
2 |
cos |
|
2 0, z0 sin 2 |
0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
/2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычислим вычет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Выч |
|
|
|
z |
|
|
/2 |
|
sin z / z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z sin z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z /2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z /2 |
|
|
|
z /2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
tgz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dz 2 i |
|
Выч f (z) Выч |
|
f (z) Выч f (z) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
z /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6.10. Вычислить интеграл |
|
|
z2 1 |
sh |
1 |
dz, |
|
если L : z 1 4eit, t 0,2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z i |
|
z |
|
(L)
29
Решение. Построим контур L – окружность с центром в точке |
|
|
|
||||||||||||
z0 1 и радиусом 4 (рис.18). Найдем особые точки функции |
|
y |
|
||||||||||||
f z |
z2 1 |
1 |
. Это точки z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
i |
x |
||||
z i |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||
z i ; они расположены внутри области D : |
|
z |
|
4, поэтому |
3 |
0 1 |
5 |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z)dz 2 i |
z 0 |
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выч f z Выч f z . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.18 |
|
Для вычисления вычета функции |
f (z) в точке z 0 разложим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
функцию в ряд в окрестности этой точки:
|
z |
2 |
1 1 |
|
|
(z i) (z i) 1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
1 |
|
|
i |
|
|
||||
f z |
|
|
|
(z i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sh |
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||
|
z i |
|
z |
|
|
z i |
|
z |
|
|
|
|
3!z |
|
5!z |
|
|
z |
|
3!z |
|
3!z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, Выч f z c 1 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления вычета функции |
f (z) в точке z i |
определим тип особой точ- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ки. Точка z i |
является устранимой особой точкой, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i z i |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim f (z) lim |
|
sh |
|
lim z i sh |
|
|
|
2i sh |
|
|
|
2i |
sh i 2i |
2 |
sin1 2sin1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z i |
z i |
z i |
|
z |
z i |
|
|
|
|
z |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому Выч f (z) 0 и |
|
f (z)dz 2 i |
Выч f z Выч f z |
2 i i 0 2 . |
|
||||||||||||||||||||
|
z i |
|
|
|
z 0 |
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.11. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
, |
где L : |
(x 1)2 |
|
y2 |
1. |
|||||||
|
z |
2 |
(1 3i)z |
3i |
2 |
1 |
|
9 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Контур L есть эллипс с центром в точке 1;0 и полу-
осями a 1, b 3 (рис.19). Найдем особые точки подынтегральной
функции |
f (z), |
решив уравнение z2 (1 3i)z 3i 0 . По теореме |
|||||||||||||||
Виета корни уравнения равны z 1, |
z 3i. Внутрь контура попада- |
||||||||||||||||
ет только одна особая точка |
z 1. Это – |
полюс второго порядка, |
|||||||||||||||
т.к f z |
|
|
z |
|
|
. Поэтому по формуле (6.7) при k 2 имеем |
|||||||||||
(z 1)2 (z 3 i)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (z 1) |
|
|
|
z |
|
|
|
3i z |
|
7 24i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Выч f (z) lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
z 1 |
z 1 |
|
(z 3i) |
2 |
z 1 |
(z 3i) |
2 |
z 1 |
(z 3i) |
|
250 |
||||||
|
(z 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
3i
0 1 2 x
Рис.19
Следовательно, |
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
2 i Выч f z 2 i 7 24i |
|
24 7i |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
2 |
(1 |
3i)z 3i |
2 |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
250 |
|
|
|
125 |
|
|
||||||
|
(L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Примеры для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вычислить интегралы: |
|
|
|
ezdz |
|
|
|
|
|
zdz |
, z |
2 |
|
1 |
L : |
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
sin |
z dz, |
|
|
|
|
1. |
||||||||||||
|
z3 |
iz2 |
sin z |
|
4 |
9 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z i |
3 |
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
i . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: 2 i ; |
2 |
2i; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|