Эконометрика

Т а б л и ц а 3.1.3.5

3.2. АВТОКОРРЕЛИРОВАННОСТЬ ОСТАТКОВ

3.2.1. Расчетные формулы

3.2.1.1. Критерий Дарбина – Уотсона

n

et2

t 1

3.2.1.2. Коэффициент автокорреляции

ˆ eˆteˆt 1 .

eˆt21

3.2.1.3. Процедура устранения автокорреляции предполагает следующее преобразование исходных данных:

где Pˆ такое, что Pˆ Pˆ ˆ01. Матрица Pˆ представляет собой корень квадратный из матрицы, обратной к ковариационной матрице остатков ˆ 01, и имеет вид

51

3.2.2. Решение с помощью Excel

Задание 3.2.2.1. Госпожа Арешникова В.В., президент компании «Преслава», собрала данные о месячных объемах продаж своей компании ( yt , тыс. руб.) вместе с несколькими другими показателями, как она полагала, способными оказывать влияние на объем продаж. В качестве этих показателей ею были выбраны расходы на рекламу (x1t , тыс. руб.) и индекс потребительских расходов (x2t , %). Собранные госпожой Алешниковой В.В. данные представлены в табл. 3.2.2.1. Требуется оценить степень взаимосвязи между этими показателями, построив соответствующее линейное уравнение регрессии. Для построенного уравнения следует проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. В случае подтверждения этой гипотезы необходимо оценить параметры регрессии обобщенным МНК и получить прогнозную оценку объема продаж на следующий месяц при условии того, что расходы на рекламу составят 7,9 тыс. руб., а индекс потребительских расходов возрастет до 114,9 %.

Т а б л и ц а 3.2.2.1

Решение с помощью Excel

1.Ввод исходных данных с включением в модель дополнительной переменной х0, принимающей единственное значение, равное 1.

2.Нахождение вектора оценок коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel (МУМНОЖ, ТРАНСП,

МОБР)

52

3.Расчет остатков eˆ y Xbˆ .

4.Вычисление разностей e y yˆ и оформление промежуточных

результатов в виде табл. 3.2.2.2.

Т а б л и ц а 3.2.2.2

5. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках 5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с

использованием критерия Дарбина – Уотсона.

5.1.1.Вычисление (еt et 1)2 и et2 . Оформление результатов расчетов в виде табл. 3.2.2.3.

53

5.1.2. Расчет статистики Дарбина – Уотсона

d =59521,14 / 78625,21= 0,757.

Так как d dL dU , т.е. 0,757 1,05 1,53, то существует положительная автокорреляция остатков.

5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием метода рядов.

Последовательное определение знаков отклонений позволяет получить следующие ряды:

(+) (– – –) (+ + + +) (– – – –) (+) (– –) ( + + +)

и сделать вывод о присутствии автокорреляции в остатках.

5.2.Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием графического представления зависимости остатков от времени (рис. 3.2.2.1).

Р и с. 3.2.2.1. График зависимости остатков от времени

Анализ построенного графика показывает, что изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно сделать вывод о том, что они автокоррелированы.

Наличие автокорреляции означает, что t et 1 t , т.е. не выполняются предположения классического регрессионного анализа, и, следовательно, можно найти более эффективную оценку, чем bˆ .

6. Преобразование исходных данных. 6.1. Оценка параметра .

6.1.1. Вычисление etet 1 и оформление результатов расчетов в ви-

де табл. 3.2.2.4.

Т а б л и ц а 3.2.2.4

54

6.1.2. Вычисление коэффициента автокорреляции

= 47343,24 / 78625,21 = 0,6021.

6.2.Преобразование исходных данных по формулам (3.2.1.3) и оформление результатов расчетов в виде табл. 3.2.2.5.

Та б л и ц а 3.2.2.5

7. Оценка с помощью обычного МНК вектора коэффициентов рег-

8. Нахождение прогнозной оценки объема продаж на следующий период

при xT 1 1;7,9;114,9 и с учетом того, что еТ 1 коррелированно с предыдущим значением в выборочном периоде

3.2.3. Задания для самостоятельной работы

Задание 3.2.3.1. Аналитику Воронежского филиала энергетической компании было поручено разработать новые тарифы на электроэнергию, для чего ему потребовалось составить прогноз расходов населения на электроэнергию на следующий период. С этой целью он решил исследовать две потенциально независимые переменные: цена на электроэнергию для физических лиц (коп. за кВт/ч, x1) и потребле-

55

ние электроэнергии населением (кВт/ч, x2 ). Ему удалось собрать данные по этим показателям за 20 периодов (см. табл. 3.2.3.1).

Т а б л и ц а 3.2.3.1

Когда аналитик делал доклад на комиссии по тарифам, ему бы задан вопрос: «Так как данные представляют временной ряд, то не будут ли Ваши расчеты искажены автокоррелированностью остатков?» Ответьте на этот вопрос и рассчитайте прогнозную оценку расходов населения на электроэнергию на следующий период при условии того, что цена на электроэнергию составит 4,34 коп. за кВТ/ч, а потребление электроэнергии – 14905кВт.

Задание 3.2.3.2. Проверьте гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов (yt , млн. руб.) от совокупного дохода (xt , млн. руб.), построенной по первым разностям исходных показателей, представленным в табл. 3.2.3.2. Получите прогнозную оценку расходов на следующий год при условии того, что величина совокупного дохода составит 22 млн. руб.

Т а б л и ц а 3.2.3.2

Задание 3.2.3.3. Верифицируйте с помощью теста Дарбина – Уотсона гипотезу об отсутствии автокорреляции случайных отклонений первого порядка в модели, отражающей зависимость урожайности пшеницы (центнеров с га, Y) от использования минеральных удобре-

56

ний (на 1 кг сельхозугодий в килограммах, X). Исходные данные приведены в табл. 3.2.3.3.

Задание 3.2.3.4. В табл. 3.2.3.4 приведены данные о годовых доходностях акций компаний А и В. Постройте линейную регрессионную модель, отражающую зависимость доходности акций компании А от доходности акций компании В, и исследуйте остатки этой модели на автокорреляцию. В случае наличия автокорреляции преобразуйте исходные данные с целью ее устранения.

Т а б л и ц а 3.2.3.4

Задание 3.2.3.5. Данные, представленные в табл. 3.2.3.5, отражают доходы населения (x) и расходы на покупку валюты (y) за период с 2001 по 2003г. Очевидно, что существует взаимосвязь между этими двумя показателями. Оцените степень этой взаимосвязи, построив соответствующее линейное уравнение регрессии. Для построенного уравнения вычислите остатки и, используя

57

критерий Дарбина – Уотсона в матричной форме, проверьте гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. В случае подтверждения этой гипотезы оцените параметры регрессии обобщенным МНК.

Т а б л и ц а 3.2.3.5

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

4.1. ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ

4.1.1. Расчетные формулы

4.1.1.1 Абсолютный прирост:

yt yt yt 1,

где yt - уровень временного ряда в момент t (t=1, 2, . . .). 4.1.1.2. Средний абсолютный прирост:

y yn y0 .

Ttпр yt yt 1 100% Ttp 100%.

58

4.1.1.5. Средний темп роста:

где T1p, T2p, . . . , Tnp- темпы роста за отдельные интервалы времени.

4.1.1.6. Скользящая средняя:

где yt - значение скользящей средней для момента t

(t p 1,...,n p);

yi - фактическое значение уровня в момент i. 4.1.1.7. Взвешенная скользящая средняя для p=2:

1

yt 35 ( 3yt 2 12yt 1 17yt 12yt 1 3yt 2). 4.1.1.8. Взвешенная скользящая средняя для p=3:

1

yt 21 ( 2yt 3 3yt 2 6yt 1 7yt 6yt 1 3yt 2 2yt 3).

4.1.1.9.Модели:

-постоянный рост:

yt b0 b1t - линейная; - увеличивающийся рост:

yt b0 b1t b2t2 - парабола,

yt b0b1t - показательная; - уменьшающийся рост:

yt b0 b1е t модифицированная экспонента; - комбинированный рост:

yt b0 b1lnt b2(lnt)2 с b2 0 - логарифмическая парабола; yt b0 b1t b2t2 b3t3 с b3 0 - полином третьей степени.

59

4.1.2. Решение типовой задачи

Задание 4.1.2.1.Ежемесячно фирма «Канцелярская ниша» на основе информации об объемах продаж составляет планы закупок отдельных групп товаров для своих магазинов. В текущем месяце на ее складе заканчиваются цветные карандаши, в связи с чем отделу закупок фирмы было поручено определить количество упаковок, которое необходимо заказать на оптовой базе канцтоваров. Специалисты отдела закупок обычно принимают решение на основе предоставляемой аналитическим отделом информации о прогнозных оценках объемов продаж на последующие три месяца. Следовательно, аналитическому отделу фирмы предстоит решить три задачи: 1) подобрать кривую роста (трендовую модель) к временному ряду табл. 4.1.2. 1, отражающему динамику объема продаж цветных карандашей фирмой за последние 15 месяцев; 2) с помощью критерия Дарбина – Уотсона проверить адекватность выбранной для целей прогнозирования модели; 3) получить точечные и интервальные прогнозы объема продаж на 3 месяца. Требуется решить поставленные перед аналитическим отделом фирмы задачи.

Т а б л и ц а 4.1.2.1 Динамика объема продаж фирмы «Канцелярская ниша»

60