Эконометрика

3. Проверка условия невырожденности матрицы (X X).

3.1.Формирование матрицы (X X) с помощью функций

ТРАНСП и МУМНОЖ

3.2.Вычисление определителя матрицы (X X) с помощью функции МОПРЕД

0,0633.

Близость определителя к нулю, а также проведенный выше анализ позволяют сделать вывод о наличии частичной мультиколлинеарности.

4. Устранение эффекта мультиколлинеарности с помощью риджоценивания.

4.1. Включение в модель дополнительной переменной x0 , принимающей единственное значение, равное 1.

4.2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel.

4.2.1. Формирование матрицы, обратной к матрице системы нор-

31

4.2.2.Получение вектора оценок коэффициентов регрессии путем умножения обратной матрицы на матрицы XX I 1 и X yпри различных значениях . Оформление результатов виде табл. 2.2.4.

5. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

5.1.Вычисление остаточной дисперсии при различных значениях

и оформление результатов расчетов в виде табл. 2.2.5.

Та б л и ц а 2.2.4

32

5.2. Получение стандартных ошибок в виде корня квадратного из произведения диагональных элементов обратной матрицы на остаточную дисперсию при различных значениях . Оформление результатов расчетов в виде табл. 2.2.6.

Таким образом, наименьшая стандартная ошибка получена при

0,4

Следовательно, построенная модель может быть записана в виде

y0,0458 0,4358x1 2950x2.

6.Проверка значимости полученных коэффициентов регрессии

2.3. Задания для самостоятельной работы

Задание 2.3.1. Владельцы интернет-аукциона «Э-Слава» составляют бизнес-план своей деятельности на следующие два месяца. Их прежде всего интересует вопрос, каким образом можно увеличить объем реализации в натуральном выражении. В ходе исследования было выявлено, что на количество совершаемых в среднем за месяц покупок (y) влияют такие факторы, как затраты на баннерную рекламу (тыс. руб., x1), расходы на мероприятия, осуществляемые с целью привлечения интернет-пользователей на сайт аукциона (тыс. руб., x2 ), и число зарегистрированных пользователей сайта (x3). Поэтому было решено построить модель множественной регрессии, отражающую зависимость количества покупок от указанных факторов. Данные об этих показателях за последние 20 месяцев представлены в табл. 2.3.1.

33

Т а б л и ц а 2.3.1

Задание 2.3.2. Фирма «Ваше очарование» довольно успешно осуществляет торговлю косметическими товарами на российском рынке. Ее успех определяется, в частности, человеческим фактором. С целью изучения его влияния на среднеквартальный объем продаж (млн. руб., y ) через такие показатели, как фонд оплаты труда (млн. руб., x1) и численность работников фирмы (чел., x2), была сформирована табл. 2.3.2. В этой таблице приведены данные по этим показателям за последние 18 кварталов. Постройте двухфакторную регрессионную модель, отражающую зависимость объема продаж от указанных факторов.

Т а б л и ц а 2.3.2

Задание 2.3.3. В табл. 2.3.3 представлены данные о продажах квартир на вторичном рынке жилья. В этой таблице приняты следующие обозначения: y– цена квартиры, тыс. долл.; x1– число комнат в квартире; x2 – район города (1 – центральный, 0 – периферийный); x3– общая площадь квартиры (кв. м.); x4 – жилая площадь квартиры (кв. м.); x5– площадь кухни (кв.м.); x6 – тип дома (1 – кир-

34

пичный, 0 – другой); x7 – расстояние от метро (минут, пешком). Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции и устано-

вите: 1) наиболее значимо влияют на цену; 2) какие из факторов коллинеарны. Устранив мультиколлинеарность, постройте линейное уравнение регрессии, характеризующее зависимость y от соответствующих факторов. Оцените качество построенного уравнения.

Т а б л и ц а 2.3.3

35

Задание 2.3.4. Для линейного трехфакторного уравнения регрессии имеются данные, представленные в табл. 2.3.4. Выполните следующие задания: 1) определите корреляционную матрицу R и содержащийся в этих данных размер коллинеарности как det(R); 2) рассчитайте размер коллинеарности, в случае если из уравнения выводится переменная x2 ; 3) вычислите гребневые оценки параметров для гребневой константы, равной 0,5 и 0,8.

Задание 2.3.5. По данным табл. 2.3.5 изучается зависимость индекса качества жизни населения (y) от следующих показателей соци- ально-экономического развития регионов: x1– ВРП (с учётом уровня покупательной способности) на душу населения (тыс. руб.); x2 – объём внешнеторгового оборота на душу населения (млн. долл. США); x3– финансовая обеспеченность региона (с учётом уровня покупательной способности) на душу населения (тыс. руб.); x4– общий объём розничного товарооборота и платных услуг (с учётом уровня покупательной способности) на душу населения (тыс. руб.); x5 – объём инвестиций в основной капитал на душу населения (тыс. руб.); x6 – доля занятых на малых предприятиях в общей численности занятых в экономике (% к общей численности занятых в экономике); x7 – основные

36

фонды отраслей экономики (по полной балансовой стоимости, с учётом степени удорожания капитальных затрат) на душу населения (тыс. руб.); коэффициент плотности автомобильных дорог (коэффициент Энгеля); x9 – уровень регистрируемой безработицы (% к экономически активному населению); x10 –соотношение среднедушевых доходов и среднедушевого прожиточного минимума; x11– доля населения с доходами ниже прожиточного минимума (%); x12 – обеспеченность местами детей, находящихся в дошкольных учреждениях (мест на 1000 детей дошкольного возраста); x13 – выпуск специалистов высшими и государственными средними учебными заведениями (спец. на 10000 чел. населения); x14 – обеспеченность населения врачами и средним мед. персоналом (на 10000 ед. населения); x15 – обеспеченность населения амбулаторно-поликлиническими учреждениями (число посещений за смену на 10000 чел.).

Требуется: 1) построить матрицу парных коэффициентов. Рассчитать коэффициенты множественной детерминации, используя в качестве зависимой переменной каждый фактор. Установить, какие факторы мультиколлинеарны; 2) построить уравнение множественной регрессии с полным набором факторов и оценить его качество; 3) отобрать наиболее информативные факторы и построить уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Т а б л и ц а 2.3.5

37

Продолжение таблицы

3. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

3.1. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

3.1.1. Расчетные формулы

1.3.1.1.Оценка коэффициентов обобщенной регрессии: bˆ X 1X 1X 1y.

1.3.1.2.Тест Уайта. Сначала с помощью обычного МНК строится регрессионная модель, и находятся остатки ei, i 1, 2, , n. После чего

строится регрессия квадратов этих остатков на все регрессоры, их квад-

38

раты и попарные произведения. В предположении, что гипотеза H0 (отсутствие гетероскедастичности) имеет место, величина nR2 асимптотически имеет распределение 2 m 1 , где R2– коэффициент детермина-

ции, а m– число регрессоров второй модели. Если nR2 2 m 1 , то H0 отвергается.

1.3.1.3. Тест Голдфельда – Куандта:

1)данные упорядочиваются по убыванию той независимой переменной, от которой в соответствии с предположением зависит дисперсия ошибки;

2)d наблюдений, расположенных в средине упорядоченного ряда, исключаются (d рекомендуется брать равным четверти общего числа наблюдений);

3)по первым n/ 2 d / 2 и последним n/ 2 d / 2строятся независимо друг от друга два регрессионных уравнения и с их помощью

рассчитываются соответствующие вектора остатков e1 и e2 ;

4) из полученных остатков рассчитывается статистика F e1e1 /e2e2.

Если верна гипотеза H0 : 12 22 n2, то F имеет распределение Фишера с (n/2 d /2 k, n/2 d /2 k)степенями свободы. Если статистикабольшетабличногозначения,тогипотеза H0 отвергается.

1.3.1.4. Тест Бреуша – Пагана:

1)строится обычная регрессия и с ее помощью рассчитываются компоненты вектора остатков e;

2)рассчитывается оценка дисперсии ˆ2 1/n et2 ;

Для этого уравнения рассчитывается объясненная часть вариации, т.е. сумма квадратов отклонений расчетных значений от среднего значения, обозначаемая обычно RSS;

4) статистика RSS/2 сравнивается с табличным значением 2 и, если RSS/2 превосходит табличное значение, то нуль-гипотеза (отсутствие гетероскедастичности) отбрасывается.

3.1.2. Решение типовых задач

Задание 3.1.2.1. В табл. 3.1.2.1 представлены данные о потребительских расходах (у, у.е.) и располагаемом доходе (х, у.е.) тридцати семей. Проверьте эти данные на наличие гетероскедастичности, используя: 1) критерий Уайта; 2) критерий Бреуша – Пагана.

39

Т а б л и ц а 3.1.2.1

Решение с помощью табличного процессора Excel

1.Ввод исходных данных.

2.Построение регрессионного уравнения с помощью пакета анализа (см. Вывод 3.1.2.1)

3. Получение расчетных значений yˆi и вычисление остатков ei и ei2, i 1, 2, , n. Оформлениерезультатов расчетовв видетабл.3.1.2.2.

Т а б л и ц а 3.1.2.2

40