Эконометрика

тельной вложение в маркетинговые исследования одной тысячи рублей и каков средний лаг, существующий между вложением средств в маркетинговые исследования и получением прибыли от этих вложений.

Решение с помощью табличного процессора Excel

1.Ввод исходных данных.

2.Преобразование исходных данных xt в новые переменные

z0t , z1t и z2t по следующим формулам:

z0t xt xt 1 xt 3 xt 4;

z1t xt 1 2xt 2 3xt 3 4xt 4 ; z2t xt 1 4xt 2 9xt 3 16xt 4 ;

и оформление результатов в виде табл. 4.3.2.2.

3. Расчет параметров линейной регрессии aˆ , сˆ0 , сˆ1, сˆ2 по преобразованным данным с помощью пакета «Анализ данных» (см. Вывод итогов 4.3.2.1).

81

Таким образом, построенная по преобразованным данным модель записывается в следующем виде:

yˆt 31,6184 5,9333z0t 3,1978z1t 0,6317z2t .

4.Расчет оценок коэффициентов регрессии aˆ , bˆ0 , bˆ1, bˆ2 исходной модели

aˆ 31,6184;

bˆ0 cˆ0 5,9333;

bˆ1 cˆ0 cˆ1 cˆ2 5,9333 3,1978 0,6317 3,3671;

bˆ2 cˆ0 2cˆ1 4cˆ2 5,9333 2 3,1978 4 0,6317 2,0642; bˆ3 cˆ0 3cˆ1 9cˆ2 5,9333 3 3,1978 9 0,6317 2,0247;

82

bˆ4 cˆ0 4cˆ1 16cˆ2 5,9333 4 3,1978 16 0,6317 3,2485.

Следовательно, модель с распределенным лагом имеет вид

yˆt 31,6184 5,9333xt 3,3671xt 1 2,0642xt 2 2,0247xt 3 3,2485xt 4. 5. Расчет долгосрочного мультипликатора

b 5,9333 3,3671 2,0642 2,0247 3,2485 16,6379.

Мультипликатор показывает, что увеличение средств на проведение маркетинговых исследований на 1 тыс. руб. в настоящий момент времени через 4 периода приведет к увеличению прибыли на 16637 руб.

6.Расчет относительных коэффициентов регрессии

0 bˆ0 /b 5,9333/16,6379 0,3566;

1 bˆ1 /b 3,3671/16,6379 0,2024;

2 bˆ2 /b 2,0642/16,6379 0,1241;

3 bˆ3 /b 2,0247/16,6379 0,1217;

4 bˆ4 /b 3,2485/16,6379 0,1952.

7.Расчет среднего лага

Т0 0,3566 1 0,2024 2 0,1241 3 0,1217 4 0,1952 1,5966.

Таким образом, в среднем увеличении затрат на маркетинговые исследования приведет к увеличению прибыли компании через 1,6 периода.

4.3.3. Задания для самостоятельной работы

Задание 4.3.3.1. Совет директоров крупной компании «Эксклюзив», имеющей возможности для увеличения степени компьютеризации управления производством, для реализации своих стратегических планов желал бы иметь представление о том, на сколько и когда могут снизиться производственные затраты при росте степени компьютеризации на 1% в текущем периоде. Очевидно, что для ответа на этот вопрос целесообразно воспользоваться регрессионной моделью с распределенными лагами. Постройте такого рода модель с лагом, равным четырем, в предположении, что структура лага описывается полиномом третьей степени. Данные для построения модели представлены в табл. 4.3.3.1.

83

Т а б л и ц а 4.3.3.1

Задание 4.3.3.2. Для линейного уравнения с лаговыми зависимыми переменными

yt 0xt 1xt 1 2xt 2 t , t 1, ,T

имеются следующие данные (см. табл. 4.3.3.2). Оцените параметры этого уравнения с помощью метода Алмон, если максимальный лаг равен 5, а порядок аппроксимирующего многочлена – 3.

Задание 4.3.3.3. Имеются данные о динамике оборота розничной торговли и потребительских цен региона (см. табл. 4.3.3.3).

Выполните следующие задания:

1) постройте автокорреляционную функцию каждого временного ряда и охарактеризуйте структуру рядов;

84

2)используя метод Алмон, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4, степень аппроксимирующего полинома – не более 3. Оцените качество построенной модели;

3)используя метод Койка, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4;

4)сравните результаты, полученные в 2) и 3).

Т а б л и ц а 4.3.3.3

Задание 4.3.3.4. Динамика объемов ВНП США (Y, в ценах 1987г.), валовых внутренних инвестиций в экономику США (X) и государственных закупок товаров и услуг (Xгос.) представлена в табл. 4.3.3.4. Все показатели измерены в млрд. долл. США. Постройте модель с распределенным лагом, равным 4, в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени.

85

Задание 4.3.3.5. Имеются данные о динамике товарооборота и доходов населения России (см. табл. 4.3.3.5). Оцените параметры модели с распределенным лагом методом Алмон при условии того, что длина лага равна 3, а степень аппроксимирующего полинома – 2.

Т а б л и ц а 4.2.3.5

86

4.4. АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

4.4.1. Расчетные формулы

4.2.1.1. Модель авторегрессии первого порядка AR(1):

Yt a0 a1Yt 1 t.

4.4.1.2. Модель скользящей средней MA(1) (самостоятельно обычно не используется):

Yˆt b0 b1 t 1 t ,

где t Yt Yˆt .

4.4.1.3. Авторегрессионная модель скользящей средней

ARMA(1,1):

Yt a0 a1Yt 1 b1 t 1 ut ,

где ut – ненаблюдаемая ошибка в данном уравнении. 4.4.1.4. Коэффициент автокорреляции:

n k

Yt Y Yt k Y

t1

4.4.1.5.Доверительный интервал для k-го коэффициента авто-

корреляции:

4.4.1.6. Статистика для проверки по 2 - критерию значимости m коэффициентов автокорреляции:

m

Q n ri2 ,

i 1

где n – объем выборочной совокупности;

m – максимальный рассматриваемый лаг.

4.4.1.7. Статистика для проверки значимости единичного корня по критерию Дики – Фуллера:

DFрасч 1 /S 1,

где 1 1 1, а S 1– стандартная ошибка 1.

4.4.1.8. В случае автокорреляции остатков для проверки значимости единичного корня применяется расширенный критерий Дики – Фуллера. В расширенном критерии статистика DFрасч

87

сравнивается с критическим значением, рассчитываемым по следующей формуле:

Если нулевая гипотеза проверяется для модели со свободным членом

Yt 0 1Yt 1 t ,

то строится уравнение

Yt 0 Yt 1 t

В тех случаях, когда модель содержит и свободный член, и тренд

Yt 0 1Yt 1 t t,

то коэффициент 1 определяется по уравнению

Yt 0 Yt 1 t t ,

а критическое значение для проверки нулевой гипотезы рассчитывается при:

4.4.2. Решение типовых задач

Задание 4.4.2.1. По данным табл. 4.4.2.1, характеризующим объем продаж спортивного оборудования для футбола, постройте модель ARIMA(p, q, 0), предварительно убедившись на 95%-ном уровне значимости в интеграции данного временного ряда и оп-

88

ределив порядок авторегрессии. С помощью построенной модели осуществите прогнозные расчеты на два последующих периода.

Т а б л и ц а 4.4.2.1

Решение с помощью табличного процессора Excel.

1. Ввод исходных данных и оформление их в виде табл. 4.4.2.2.

2. Проверка временного ряда на стационарность с помощью критерия Дики – Фуллера, т.е. проверка гипотезы

H0 : 1 0,

HA : 1 значительно меньше нуля.

2.1.Оценка с помощью метода наименьших квадратов (пакета анализа данных Excel) параметров модели Yt 0 1Yt 1 t

Yt 20,034 0,900Yt 1. (9,349) (0,068)

2.2. Расчет статистики

0,900 1

DFрасч S 0,068 1,462

и сравнение ее с критическим значением расширенного критерия Дики – Фуллера на 95%-ном уровне значимости, равным

89

EDF 2,86 2,74 8,36 3,120. 13 132

Для данного уровня значимости ряд нестационарен, так как

DFрасч EDF.

2.3. Разностное представление временного ряда

Yt 9,104 0,478 Yt 1 . (2,387) (0,252)

2.5. Расчет статистики

и сравнение ее с критическим значением расширенного критерия Дики – Фуллера на 95%-ном уровне значимости

EDF 2,86 2,74 8,36 3,146. 12 122

Для данного уровня значимости ряд стационарен, так как DFрасч EDF и, следовательно, мы имеем дело с процессом I(1).

3. Определение порядка авторегрессии для преобразованного ряда.

3.1. Расчет частных коэффициентов автокорреляции. Частный коэффициент автокорреляции первого порядка равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, т.е.1 r1 0,478 . Частный коэффициент автокорреляции второго порядка равен последнему коэффициенту авторегрессионного уравнения второго порядка, т.е. для его получения необходимо построить авторегрессионное уравнение второго порядка с помощью пакета анализа Excel по данным табл. 4.4.2.4.

90