Уравнения нормали к поверхности

Определение.Прямая , проходящая через точкуповерхностиперпендикулярно касательной плоскости, называетсянормалью к поверхности в точке (рис. 17).

Направляющий вектор нормали совпадает с нормальным вектором касательной плоскости:

.

Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:

В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:

.

12. Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в областичастные производные. Функциив свою очередь могут иметь частные производные в областиили более узкой области. Эти частные производные называютсячастными производными второго порядка исходной функции .

У функции двух переменных могут быть четыре разных частных производных второго порядка:

1) , или в других обозначениях;

2) , или в других обозначениях;

3) , или в других обозначениях;

4) , или в других обозначениях.

Исходные частные производные называются при этом частными производными первого порядка.

Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков от функций двух и более переменных.

Пример. У функции среди частных производных третьего порядка имеются в том числе следующие:

; ;.

и т. д.

Те из частных производных второго и более высоких порядков, у которых дифференцирование ведется по различным переменным, называются смешанными. Так, в последнем примере первые две из частных производных третьего порядка являются смешанными.

Пример. Рассмотрим функцию . Здесь

; .

Далее,

; ;;

.

Совпадение смешанных частных производных ив последнем примере является неслучайным; именно справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены два условия:

1. В окрестности точки существуют частные производныеи.

2. В самой точке смешанные частные производныеинепрерывны.

Тогда имеет место равенство смешанных частных производных:

.

(Без доказательства).

13. Экстремумы

Пусть функция задана в области, содержащей точку.

Определение. 1. Точка называетсяточкой максимума функции , если для всех точекиз некоторой окрестности точкивыполняется неравенство(другими словами, точкаявляетсядля этой окрестности точкой наибольшего значения).

2. Аналогично точка называетсяточкой минимума функции , если для всех точекиз некоторой окрестности выполняется неравенство.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Замечание. Понятие точки экстремума является локальной характеристикой функции, говорящей о ее поведении в малой окрестности точки . В точках, далеких от, значения функции могут быть больше, чем в точке максимума или меньше, чем в точке минимума (рис. 18).

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если функция имеет в точкеэкстремум, то каждая из частных производных, если она существует в этой точке, равна нулю.

Таким образом, необходимое условие экстремума в точке в случае существования частных производных имеет вид:

; .

Доказательство. Пусть например, — точка максимума, и в этой точке существует частная производная. Зафиксируеми рассмотрим функцию одной переменной. Тогда. Из определения точки экстремума следует, чтоявляется для функцииточкой максимума, и необходимое условие экстремума для функции одной переменной дает:, то есть.