- •Федеральное агентство морского и речного
- •II. Понятие области
- •III. Определение функции
- •Р ис. 6
- •3. Приращения функции нескольких переменных
- •5. Частные производные
- •6. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •I. Понятие дифференцируемости
- •II. Формула для полного приращения
- •III. Достаточное условие дифференцируемости
- •IV. Соотношение понятий непрерывности, дифференцируемости и частных производных
- •7. Частные производные сложной функции
- •8. Полная производная сложной функции
- •9. Дифференцирование неявной функции
- •10. Уравнения касательной к пространственной линии
- •Как и в случае плоской кривой, имеет место следующее Определение. Касательной к линии в точке называется предельное положение секущей при .
- •11. Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности
- •Уравнения нормали к поверхности
- •(Без доказательства).
- •13. Экстремумы
- •Необходимое условие экстремума
- •Определение. Точка области определения функции называется стационарной, если в этой точке существуют частные производные первого порядка, и выполняется необходимое условие экстремума:
- •II. Понятие производной по направлению
- •III. Понятие градиента
- •IV. Связь производной по направлению с градиентом
- •Литература
- •Ястребов Михаил Юрьевич математика
- •Учебное пособие
6. Дифференцируемость функции нескольких переменных
I. Понятие дифференцируемости
Напомним, что для функции одной переменной дифференцируемость в точкепо определению означает существование конечного предела
.
Необходимым и достаточным условием для этого является возможность представления приращенияв точкев виде:
, (1)
где является бесконечно-малой величиной; при этомявляется, как функция переменной, бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем [4].
В случае функции нескольких переменных в основу понятия дифференцируемости кладется условие, аналогичное (1).
Итак, пусть функция определена в окрестности точки.
Определение. Функция называетсядифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке, как функция аргументови, представимо в виде:
, (2)
где функция является прибесконечно малой величиной более высокого порядка, чем(рис. 9).
В этом случае выражение , являющееся линейной функцией аргументови, называетсяполным дифференциалом функции в точке.
З амечание. Из дифференцируемости функции в точкеследует ее непрерывность в этой точке, поскольку из (2) следует: .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные, и коэффициентыив формуле(2) равны их значениям:
.
Доказательство. Положим в формуле (2) и устремимк нулю. При этомстановится частным приращением, и (2) принимает вид:
,
откуда
, (3)
причем
,
так что в соответствии с условием на и ввиду ограниченности величины:
Переходя в равенстве к пределу при , получаем:.
Аналогично устанавливается равенство .▄
Таким образом, полный дифференциал имеет вид:
.
Из формулы (2) следует, что при малых по модулю иимеет место приближенное равенство полного приращения и полного дифференциала, которые отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка, чеми.
II. Формула для полного приращения
Теорема. Пусть функция удовлетворяет двум условиям:
1. В окрестности точки она имеет частные производные .
2. В самой точке частные производные непрерывны.
Тогда для полного приращения в точкесправедлива формула :
, (4)
где частные производные вычислены в точке , а функции являются приибесконечно малыми величинами.
Доказательство.
(см. рис. 7).
Разность
можно рассматривать как разность двух значений функции
,
зависящей от одной переменной , причем ее производная является частной производной поисходной функции:. По теореме Лагранжа [4]:
,
где промежуточная точка , и потому.
Аналогично разность
можно рассматривать как разность двух значений функции , зависящей от одной переменной, причем ее производная является частной производной по исходной функции :. По теореме Лагранжа:
,
где промежуточная точка , и потому.
Итак,
. (5)
Воспользуемся теперь непрерывностью частных производных в точке :
.
Отсюда по теореме о структуре сходящейся переменной [4]):
;
,
где функции являются бесконечно малыми величинами при и . Подставляя эти выражения в (5), получаем (4). ▄