8. Полная производная сложной функции

Пусть в области задана функция двух переменных:

, (11)

у которой переменные иявляются функциями одной переменной:

. (12)

Тогда является сложной функцией одной независимой переменнойс промежуточными переменнымии:

(13)

(рис. 10).

Р

ис. 10

Рассмотрим задачу нахождения производной этой сложной функции на основании уравнений (11 и (12) без использования явной записи (13).

Теорема. Пусть ,и выполняются два условия: удовлетворяет двум условиям:

1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке.

2. Функции дифференцируемы в точке .

Тогда сложная функция дифференцируема в точке, и для ее производной справедлива формула:

. (14)

Доказательство. Придадим независимой переменной в точкеприращение; оно вызовет приращенияпромежуточных переменных, которые в свою очередь вызовут приращениесложной функции. В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращениюприменима формула (4):

,

откуда, деля на , получаем:

. (15)

Здесь — постоянные величины для фиксированной точки. Далее, функции, будучи дифференцируемыми в точке, являются также и непрерывными в этой точке, так что

, ,

а тогда и величины в представлении (15) также стремятся к нулю.

Переходя в равенстве (15) к пределу при , получаем:

,

и далее, на основании свойств предела:

.

Пример. Пусть , где. Тогда

.

Далее,

.

Поэтому

Рассмотрим теперь случай, когда у функции двух переменных одна из переменных, например, является функцией другой:. Тогдаоказывается сложной функцией отс двумя промежуточными переменнымии.

Этот случай сводится к последней теореме, если считать, что обе промежуточные переменные являются функциями одной независимой переменной , которая в этом последнем случае играет роль переменной:

, (16)

, (17)

так что

, (18)

причем функция в общей схеме (12) является «тождественной»:.

Формула (14) при этом преобразуется к виду:

. (19)

Отметим, что полная производная в левой части (19) определяется функцией (18), а частная производнаяв первом слагаемом правой части ― функцией (16).

Пример. Пусть , причем. Тогда

, ,.

Поэтому

.

9. Дифференцирование неявной функции

Пусть в области задана функция двух переменных.

Определение. Функция в окрестноститочки,задана неявно уравнением

, (20)

если при всех из этой окрестности справедливо равенство.

Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь.

Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением, имеем, так что

, (21)

и выполняются три условия:

1. Неявная функция непрерывна в точке.

2. Функция и ее частные производныенепрерывны в точке.

3. .

Тогда неявная функция дифференцируема в точке, и

.

Доказательство. Придадим переменной в точкеприращение; оно, в свою очередь, вызовет приращениенеявной функции, и, как следствие, полное приращение функции:

.

Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть

. (22)

При этом в силу непрерывности функции имеем:=0.

Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует

,

а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4):

с бесконечно малыми при. Таким образом,

.

Выразим отсюда :

(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условийи ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

.

Пример. Пусть неявная функция задана уравнением

;

здесь . Точкаудовлетворяет уравнению, так что для неявной функцииимеем:. Далее,

; .

Поэтому

.

и .