0

Федеральное агентство морского и речного

ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

————————————————————————————————

Ястребов М.Ю.

МАТЕМАТИКА

َФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

2006

УДК

ББК

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент

Кузнецов В.О.

Ястребов М.Ю. Математика. Функции нескольких переменных. — Учебное пособие: СПб: СПГУВК, 2006 — 48 С.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса экономических и технических специальностей. Оно соответствует рабочей программе дисциплины «Математика» и может быть использовано как при подготовке к экзамену, так и для текущих учебных занятий.

УДК

ББК

© Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2006

1. Понятие функции нескольких переменных

I. Понятие окрестности

Н

а числовой оси -окрестностью точки называется совокупностьточек, удаленных отменьше чем на:. Эта окрестность является интервалом(рис. 1).

Также и на плоскости -окрестностью точки называется совокупностьточек, удаленных отменьше чем на:

.

Э

та окрестность является открытым кругом (без граничной окружности, так как неравенство строгое) радиусас центром в точке(рис. 2).

Аналогично в пространстве -окрестностью точки называется совокупностьточек, для которых

.

Эта окрестность является открытым шаром (без граничной сферы) радиуса с центром в точке(рис. 3).

Р

ис. 3

Рис. 3

II. Понятие области

Определение. Областью на плоскости называется множество точек, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Множество является «цельным», состоящим «из одного куска» (связным) в том смысле, что любые две точки из можно соединить линией, целиком лежащей в.

2. Множество являетсяоткрытым: для любой точки некоторая ее окрестность целиком содержится в.

На рис. 4 и 5 изображены примеры двумерных и трехмерных областей.

III. Определение функции

Определение. В области плоскостизаданафункция двух переменных если каждой точкеставится в соответствие по некоторому правилуединственное число. В этом случаеназывается областью определения функции.

В этом случае пишут также — функция переменной точки области.

Примеры. 1. . Здесь областью определения является вся плоскость.

2. . Здесь областью определения является плоскостьс выколотой прямой.

Рис. 4 Рис. 5

3. . Здесь областью определения является открытый круг радиусас центром в начале координат.

Аналогично определяется функция трех или более переменных в области пространства трех или более измерений.

Примеры. 1. .2. .

Определение. Графиком функции двух переменных является поверхностьв пространстве, состоящая из всех точек пространства, где.

Проекцией поверхности на плоскостьявляется область определенияфункции(рис. 6).