4 Примеры решения типовых задач

1 Способ непосредственного ранжирования

Задание:

Определить коэффициенты весомости методом непосредственного ранжирования. При М_i<0,1 провести перенормировку.

В опросе участвовало 6 экспертов, оценивались 10 свойств изделия. Ранги экспертами расставлялись следующим образом: наиболее важному, по мнению эксперта, свойству присваивается ранг а'_ij= 1, следующему по важности — ранг a'_ij= 2 и т.д. вплоть до ранга а'_ij= 10 наименее важному свойству. Экспертам дана рекомендация не пользоваться связанными рангами.

Свойство	Ранжирование свойств экспертами
	1	2	3	4	5	6
1	2	2	3	3	1	2
2	5	7	1	2	3	5
3	1	1	2	1	2	1
4	4	3	4	4	5	4
5	3	5	5	5	4	3
6	8	8	7	7	8	8
7	9	9	6	8	9	9
8	6	6	8	6	7	6
9	7	4	10	10	6	7
10	10	10	9	9	10	10

Решение:

1. Преобразуем ранги. Числовая последовательность рангов заменяется обратной, т.е. минимальный ранг a_ij= 1 получает наименее важное свойство, следующее от конца — ранг a_ij= 2 и т.д., а наиболее важное свойство — самый высокий ранг, равный при отсутствии связанных рангов a_ij= 10.

2. Находим сумму рангов построчно:

3. Определяем сумму сумм, т.е. сумму всех рангов как построчно, так и по столбцам:

4. Нормируем коэффициенты весомости.

Коэффициент весомости i-го параметра М_i определяется по формуле:

,

где N - общее число опрашиваемых экспертов (j = 1,2, ..., N);

а_ij - преобразованный ранг, присвоенный i-му параметру j-м экспертом.

	;

Полученные значения коэффициентов весомости заносим в таблицу.

5. Проводим перенормировку. Исключаем свойства, имеющие М_i<0,1, учитывая лишь весомости оставшихся свойств.

Определяем сумму сумм:

.

Нормируем коэффициенты весомости.

0,22;

;

0,25;

;

.

Преобразованные ранги
1	2	3	4	5	6
9	9	8	8	10	9	53		330		0,16		237		0,22
6	4	10	9	8	6	43				0,13				0,18
10	10	9	10	9	10	58				0,17				0,25
7	8	7	7	6	7	42				0,13				0,18
8	6	6	6	7	8	41				0,12				0,17
3	3	4	4	3	3	20				0,06		-		-
2	2	5	3	2	2	16				0,05		-		-
5	5	3	5	4	5	27				0,08		-		-
4	7	1	1	5	4	22				0,07		-		-
1	1	2	2	1	1	8				0,02		-		-

2 Способ частичного парного сравнения

Задание:

По заполненным экспертами таблицам для группы частных показателей необходимо найти их коэффициенты весомости.

Два эксперта получили неполную матрицу, на осях абсцисс и ординат которой расположены сравни­ваемые параметры. В каждой клетке, которая находится справа от нисходящей диагонали, эксперты поставили номер того из двух сравниваемых параметров (опреде­ляющих координаты этой клетки), который, с точки зрения эксперта, является наиболее важным.

N =2 - число экспертов;

n= 5 - число свойств.

1 эксперт									2 эксперт
Параметр	1	2	3	4	5			Параметр		1	2	3	4	5
1		2	3	1	1			1			2	3	1	5
2	--		2	4	5			2		--		2	2	5
3	--	--		3	3			3		--	--		4	3
4	--	--	--		4			4		--	--	--		4
5	--	--	--	--				5		--	--	--	--

Решение:

1. Подсчитываются и заносятся в крайний стол­бец матрицы величины:

f_{ij 1} — частота превосходства i-го параметра, указанного в строке, над параметрами, указанными в пересекающихся с этой строкой столбцах;

f_{ij 2} — частота превосходства i-гo параметра, указанного в столбце, над параметрами, указанными в пересекающихся с этим столбцом строках (величина f_{ij 2} заносится в нижнюю строку матрицы).

Для первого эксперта

Построчно:

f₁₁¹=2 – первый параметр оказался важнее 4-го и 5-го (единица в первой строке поставлена дважды);

f₂₁¹=1 – второй параметр оказался важнее 3-го (двойка во второй строке поставлена один раз);

f₃₁¹=2 – третий параметр оказался важнее 4-го и 5-го (тройка в третьей строке поставлена дважды);

f₄₁¹=1 – четвёртый параметр оказался важнее 5-го (четверка в четвертой строке поставлена один раз).

По столбцам:

f₂₁² =1 - второй параметр оказался важнее 1-го (двойка во втором столбце поставлена один раз);

f₃₁² =1 - третий параметр оказался важнее 1-го (тройка в третьем столбце поставлена один раз);

f₄₁²=1 - четвертый параметр оказался важнее 2-го (четверка в четвёртом столбце поставлена один раз);

f₅₁² =1 - пятый параметр оказался важнее 2-го (пятерка в пятом столбце поставлена один раз).

Для второго эксперта

Построчно:

f₁₂¹=1 – первый параметр оказался важнее 4-го (единица в первой строке поставлена один раз);

f₂₂¹=2 – второй параметр оказался важнее 3-го и 4-го (двойка во второй строке поставлена дважды);

f₃₂¹=1 – третий параметр оказался важнее 5-го (тройка в третьей строке поставлена один раз);

f₄₂¹=1 – четвёртый параметр оказался важнее 5-го (четверка в четвертой строке поставлена один раз).

По столбцам:

f₂₂² =1 - второй параметр оказался важнее 1-го (двойка во втором столбце поставлена один раз);

f₃₂² =1 - третий параметр оказался важнее 1-го (тройка в третьем столбце поставлена один раз);

f₄₂² =1 - четвертый параметр оказался важнее 3-го (четверка в четвёртом столбце поставлена один раз);

f₅₂² =2 - пятый параметр оказался важнее 1-го и 2-го (пятерка в пятом столбце поставлена дважды).

1 эксперт										2 эксперт
Параметр	1	2	3	4	5	fij 1			Параметр		1	2	3	4	5	fij 1
1		2	3	1	1	2			1			2	3	1	5	1
2	--		2	4	5	1			2		--		2	2	5	2
3	--	--		3	3	2			3		--	--		4	3	1
4	--	--	--		4	1			4		--	--	--		4	1
5	--	--	--	--		0			5		--	--	--	--		0
fij 2	0	1	1	1	1	--			fij 2		0	1	1	1	2	--

2. Составляется таблица сумм значений f_ij для каждого эксперта.

Для каждого i-го параметра определяется величина f_ij=f_ij¹+f_ij², т.е. суммарная для j-го эксперта частота превос­ходства i-го параметра под всеми остальными (n — 1).

1 эксперт							2 эксперт
Параметр	fi11	fi12	fi1			Параметр		fi21	fi22	fi2
1	2	0	2			1		1	0	1
2	1	1	2			2		2	1	3
3	2	1	3			3		1	1	2
4	1	1	2			4		1	1	2
5	0	1	1			5		0	2	2

3. Определяется средняя для всех экспертов суммарная частота f_i по каждому свойству

;

где N=2 - количество экспертов ( j=1, ... , N).

f₁=(2+1)/2=1,5;

f₂=(2+3)/2=2,5;

f₃=(3+2)/2=2,5;

f₄=(2+2)/2=2;

f₅=(1+2)/2=1,5.

4. Определяется общее число проведенных каждым экспертом парных сравнений:

;

.

5. Определяются коэффициенты весомости.

Из условия, что , методом нормирования

.

Параметр	fi	Mi
1	1,5	0,15
2	2,5	0,25
3	2,5	0,25
4	2	0,2
5	1,5	0,15