Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

Èòàê,

4

S = ò ((x - 2) - (x2 - 4x + 2)) dx =

= 5 (16 - 1) - 1 (64 - 1) - 4(4 - 1) = 4,5.

23

в) Фигура, площадь которой нужно найти, изображена на рис. 111. Проведем прямую õ = 2. Тогда площадь S интересующей нас фигуры равна сумме

S1 + S2, ãäå S1 è S2 — площади криволинейных тра-

пеций отмеченных на рис. 111 соответственно горизонтальной и вертикальной штриховкой. Имеем

2 2

= 2 (2 2 - 1) + 1 (4 - 1) - 2 (2 - 1) = 8 2 - 7 ; 3 2 6

349

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

350

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

Ðèñ. 113 Ðèñ. 114

246. Вычисление объемов тел с помощью интеграла. Пусть задано тело Ò (рис. 112), обладающее следующими свойствами:

1) тело расположено между двумя плоскостями

a и b, параллельными заданной плоскости p и удаленными от нее на расстояния соответственно à è b,

(a < b), причем и в плоскости a , и в плоскости b есть точки тела Ò;

2) åñëè a < x < b и плоскость g параллельна плоскости p и удалена от нее на расстояние õ, то в пересечении плоскости g è òåëà Ò образуется сечение, площадь которого выражается функцией S (x), íå-

прерывной на отрезке [a, b].

Тогда объем V òåëà Ò вычисляется по формуле

a

Отсюда, в частности, следует, что если Ò — òåëî,

351

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

образованное вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс (рис. 113), то объем такого тела вращения выражается формулой

aa

Ïр и м е р. Найти объем конуса, радиус которого равен R, а высота равна Í.

q Конус можно рассматривать как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами Í è R вокруг катета Í (рис. 114). Составим уравнение прямой ÎÀ. Угловой коэффициент k

Значит, уравнение прямой ÎÀ имеет вид y = kx, ò. å.

y = R x (ñì. ï. 99).

H

Воспользовавшись для вычисления объема фор-

352

АЛГЕБРА

§ 26. Понятие о диф. уравнении

247. Физические приложения интеграла. Понятие интеграла лежит в основе его разнообразных физических приложений. Пусть, например, тело движется по оси Îõ, в каждой точке которой приложена

некоторая сила F = F (x) (считаем, что вектор силы направлен по оси или в противоположную сторону, т. е. фактически, что сила здесь не векторная, а скалярная величина). Тогда работа À, которая совершается при перемещении тела из точки à в точку b,

b

вычисляется по формуле A = ò F (x)dx. Таким обра-

a

çîì, работа является интегралом от силы.

Рассуждая аналогично и используя понятие интеграла, легко установить, что:

перемещение тела является интегралом от его скорости;

масса стержня является интегралом от его линейной плотности;

электрический заряд является интегралом от силы тока.

§26. Понятие о дифференциальном уравнении

248.Определение дифференциального уравнения и его решения. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее производную искомой функции, саму функцию и ее аргумент. Общий вид дифференциального

уравнения первого порядка F (x, y, y¢) = 0, причем уравнение может быть и неполным (не содержащим

353

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

õ èëè ó). Если дифференциальное уравнение имеет вид F (x, y, y¢,y¢¢) = 0, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Например:

y¢ + y - x = 0, y¢ = cosx, y¢ = 2y — дифференциальные уравнения первого порядка;

y¢¢ + 2y¢ - x - y = 0, y¢¢ = x2 - 1, y¢¢ = w2y — дифференциальные уравнения второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, при подстановке которой

âуравнение оно обращается в тождество.

Ïр и м е р 1. Доказать, что всякая функция

âèäà y = Cekx является решением уравнения y¢ = ky.

q Èìåì y = Cekx , откуда y¢ = Ckekx. Замечаем,

÷òî ó è y¢ связаны соотношением y¢ = ky. n

П р и м е р 2. Доказать, что всякая функция вида y = C1 sin wx + C2 cos wx является решением

уравнения y¢¢ + w2y = 0. q Имеем:

y = C1 sin wx + C2 coswx, y¢ = C1w cos wx - C2w sin wx,

y¢¢ = -C1w2 sin wx - C2w2 cos wx.

Тогда

y¢¢ + w2y = -w2(C1 sin wx + C2 cos wx) + + w2 (C1 sin wx + C2 cos wx) = 0.

354

АЛГЕБРА

§ 26. Понятие о диф. уравнении

Итак, функция y = C1 sin wx + C2 cos wx обращает уравнение y¢¢ + w2y = 0 в тождество. n

П р и м е р 3. Решить уравнение y¢ = sin x.

q Нам нужно найти функцию, производная которой равна sinx, т. е. найти первообразную для функции sin x. Таковой является – cos x, а точнее, любая функция вида - cos x + C. Значит, y = - cos x +

+C — решение заданного дифференциального уравнения. n

Решение дифференциального уравнения определяется не однозначно, а с точностью до постоянной Ñ

— в случае дифференциального уравнения первого порядка (см. примеры 1 и 3) или с точностью до постоянных Ñ1 è Ñ2 — в случае дифференциального уравнения второго порядка (см. пример 2). Иногда к дифференциальному уравнению добавляют условия (их называют начальными условиями), с помощью которых можно найти значения постоянных.

П р и м е р 4. Решить уравнение y¢ = sin x, åñëè y(p) = 3.

q В примере 3 мы нашли, что y = - cos x + C. Òàê êàê y(p) = 3, òî 3 = - cos p + C, ò. å. 3 = 1 + Ñ, откуда

Ñ= 2. Значит, y = - cosx + 2. n

249.Дифференциальные уравнения показательного роста и показательного убывания. Часто бывает, что скорость изменения некоторой величины пропорциональна значению этой величины в данный момент времени. Например, скорость радиоактивно-

355

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

го распада пропорциональна наличной массе вещества; прирост денег по вкладу в банке пропорционален величине вклада и т. д.

Так как скорость изменения величины ó пропорциональна самой величине ó, то выполняется равенство

Коэффициент k положителен, если величина ó увеличивается с течением времени (например, вклад в банке), и отрицателен, если ó уменьшается (например, масса вещества при радиоактивном распаде). Во втором случае уравнение (1) обычно записыва-

þò â âèäå y¢ = -ky, считая, что k > 0. Уравнение y¢ = ky называют дифференциальным уравнением показательного роста, а уравнение y¢ = -ky — äèô-

ференциальным уравнением показательного убывания.

Любая функция вида Cekx является решением уравнения (1) (см. пример 1 из п. 248), причем иных решений это уравнение не имеет. Число Ñ имеет простой физический смысл: оно равно значению ó ïðè

õ = 0, т. е. начальному значению ó. В самом деле, при õ = 0 получаем y = Cek×0 = Ce0 = C.

П р и м е р 1. Уравнение радиоактивного распада записывается в виде m¢ = -km (m — масса). Его

решение есть m = Ce-kt (поскольку здесь аргументом является время, используем привычное обозначе-

356

АЛГЕБРА

§ 26. Понятие о диф. уравнении

íèå t). Как отмечено выше, Ñ — начальное количе- ство вещества, т. е. C = m0. Поэтому закон радиоактивного распада имеет вид

На практике встречается и дифференциальное уравнение несколько более сложного вида, чем (1):

y¢ = k (y - a).

Его решение имеет вид y = a + Cekx. В самом деле,

y¢ = (a + Cekx )¢ = Ckekx = k(Cekx + a - a) = k(y - a).

П р и м е р 2. Скорость остывания тела пропорциональна разности температуры Ò этого тела и температуры Ò0 окружающей среды. Это значит, что

T¢ = -k (T - T0).

Решение этого уравнения имеет вид T = T0 +

+ Ce-kt. Если сначала (при t = 0) температура тела была равна Ò1, òî Ò1 = Ò0 + Ñ и потому Ñ = Ò1 – Ò0, ò. å. T = T0 + (T1 - T0 )e-kt. С течением времени e-kt

стремится к нулю, и в пределе температура тела сравняется с температурой Ò0 окружающей его среды.

250. Уравнение гармонических колебаний. На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. д.; про-

357

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

цессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где w — заданное положительное число. Решениями уравнения (1) являются любые функции вида

y = C1 sin wx + C2 cos wx (см. пример 2 из п. 248), где

Ñ1 è Ñ2 — постоянные, определяемые условиями конкретной задачи. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Выражение C1 sin wx + C2 cos wx можно преобра-

зовать к виду A sin(wx + j) (см. п. 87). Поэтому обычно решение уравнения (1) записывают в виде

y(t) = A sin(wx + j).

Это закон гармонических колебаний; здесь À —

амплитуда колебания, w — частота, j — начальная фаза. Графиком гармонического колебания служит синусоида (см. п. 137).

358