Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ГЛАВА-1-06.13

.pdf

Скачиваний:

367

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Ответ: y'(x) 3x2 20 x3	2		2	19
					x8	x3 .
		3
	3x		153 x	2

	y	1		5x3	arcctg x
Пример 2. Найти производную функции

			x2
	2

в точке x ( ;0) (0; ).

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования (2–4), получим:


			1							3					1						3
y '(x)						5x					arcctg x								5(x
y '(x)		2		x2		5x					arcctg x				3 x2				5(x				arcctg x)
		2		x2											3 x2
		(x				2

						3 )' 5[( x3 )' arcctg x (arcctg x)' x3 ]
			2				5													1
			2																	1
					x	3		5					3x2 arcctgx x3
					x	3		5					3x2 arcctgx x3									2
			3																1 x			2
			3																1 x
											2			15x2 arcctgx					5x3
																		1 x2
								33				x2
								33				x2
	y'(x)							2					15x2 arcctgx				5x3			.
Ответ:	y'(x)												15x2 arcctgx							.
Ответ:						33			x2							1 x2

Примеры для самостоятельного решения

4.1.y 3x5 2x4 7x3 x2 3x 4; y'(x) ?

4.2.y 5x6 7x5 11x4 15 x3 2x2 x 5; y'(x) ?

4.3.y'(x) ?

4.4.y'(x) ?

1, при x 2

4.5. Найти

f '(2);

f '(2) , если

f (x)

;

2, при x 2

4x x

Сделать чертеж.

, при x 1

4.6. Найти

'(1); f

'(1)

, если

f (x)

;

3, при x 1

6x 2x

Сделать чертеж.

tg x, при x 0

4.7. Найти

f '(0);

f '(0) , если

f (x)

;

sin x, при x 0

Сделать чертеж.

			2 3x2
4.8.	y						; y'(x) ?
			2	3x		2

4.9.	y	arcsin x						2	; y'(x) ?
		2
			2 3x

4.10.	y			x arccos x; y'(x) ?

4.11.	y x				x (3 ln x 2); y'(x) ?

4.12.y x3 2x ; y'(x) ?

4.13.y ln x ; y'(x) ?

4.14.	y	sin x cosx	;	y'(x) ?
		sin x cosx

4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону s 2 t t 2 , где

					2
			mv
t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию
				2		этого

тела в конце 3-й секунды.
4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: s	gt 2	, где		t – время
	2

в секундах, g 9,8 . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.

4.17.Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.

4.18.y x(x 1)(x 2) (x 1000); y'(1) ?

4.19. Под каким углом пересекаются кривые						y	x2				и		y 4						x2
4.19. Под каким углом пересекаются кривые						y		2			и		y 4
								2											2
4.20. Составить уравнение той нормали к кривой											y					3x 5			,	которая

																	x 3
перпендикулярна прямой		y 2x 0 . Сделать чертеж.
			Ответы
4.1.			4.4.
y'(x) 15 x4 8x3 21x		2 2x 3 ;	y'(x)			3					40									5
y'(x) 15 x4 8x3 21x		2 2x 3 ;				3					40	x		3			x	2		5
											3
4.2.						24 x					3								2x6 x5
y' (x) 30x5	35x4 44x3 45x2 4x 1			f	'(2) f						'(2) 0
			4.5.
	13		4.6.	f '(1) 3;							f '(1) 2
4.3. y'(1) 7	13		4.7.	f '(0)					f	'(0) 1
4.3. y'(1) 7	15		4.7.	f '(0)					f	'(0) 1
	15			y'(x)							24 x
											24 x
			4.8.
			4.8.							3x			2		)		2
						(2				3x					)

4.9. y'(x)

x 1 x2 arcsinx

x2 1 x2

4.10.	y'(x) arccosx		x
			1 x2
		2 x

4.11.y'(x) 92 x ln x

4.12.y'(x) x2 2x (3 x ln 2)

4.13.y'(x) 1x

4.14. y'(x)	2

	(sin x cos x)	2
	(sin x cos x)

кг см2

4.15. 62,5 с2

4.16. 19,6мс; 49 мс

4.17.

(u v w)' u' v w u v' w u v w'

4.18. y'(1) 999!

3 4.19. arctg 4

4.20. y 2x 9 42

§5. Производная сложной функции

Если функция	u(x)	дифференцируема в точке			x ,	а функция f (x)
дифференцируема	в соответствующей		точке	u ,	то	сложная функция
y(x) f (u(x)) дифференцируема в точке			x и ее производная вычисляется по
формуле:
y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) .
		Примеры с решениями
Пример 1. Найти производную функции y (3 5x 2x4 )5 .
Решение. Обозначим		(3 5x 2x4 )5 u(x) ,		тогда		y u5 f (u) . По
правилу дифференцирования сложной функции получаем

y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) (u5 )' (3 5x 2x4 )'

5u 4 ( 5 8x3 )' 5(3 5x 2x4 )4 ( 5 8x3 )

5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4

Ответ: y '(x) 5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4 .

Пример 2. Найти производную функции y cos x7 . Решение. Здесь y cosu , где u x7

y'(x) (cos u)' u' sin u(x7 )' sin x7 7x6 7x6 sin x7 Ответ: y'(x) 7x6 sin x7

Пример 3. Найти производную функции y cos7 x . Решение. Здесь y u 7 , где u cos x

y'(x) (u 7 )' u' 7u 7 (cos x)' 7 cos6 x( sin x) 7 cos6 x sin x Ответ y'(x) 7 cos6 x sin x

Пример 4. Найти производную функции y xctgx где x 0

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида

(x) 0 .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

y xctgx eln xctgx ectgx ln x

Получили сложную функцию y eu , где u ctgx ln x

y '(x) (eu )u ' eu (ctgx ln x) '

здесь

eu xctgx

ctgx

ln x ctgx

ctgx

ln x

sin

		ctgx	ln x
Ответ:	y'(x) xctgx
		x	sin	2
					x

Примеры для самостоятельного решения

5.1.y (3x3 5)4 ; y'(x) ?

5.2.y (2 4x5 )3 ; y'(x), y'(1) ?

5.3.y ctg2 32x ; y'(x) ?

5.4.y tg5 43x ; y'(x) ?

5.5.y sin x4 ; y'(x) ?

5.6.y tgx5 ; y'(x) ?

5.7.	y	11				; y'(x) ?

		arcsin2		x
	y	3			; y'(x) ?
5.8.
		arcctg	3
				x

		2 sin		x
		2 sin
5.9.	y	2			; y'(x), y'(0) ?
	y				; y'(x), y'(0) ?
		cos	x
			x

		2

5.10.
	2 cos		x
	2 cos				π
y		2		; y'(x), y'(	π	) ?
y	sin	x		; y'(x), y'(	2	) ?
		x			2
		2


5.11.		y (2x 3)5 x ; y'(x) ?
5.12.		y (sin 4 x)arcctg4 x ;			y'(x) ?
		ln	x4 sin 2 3x		; y'(x) ?
5.13.

			tg5 4x cos3 5x
			tg5 4x cos3 5x
5.14.

		(x 3)7 (2 3x)5			y'(x) ?
ln				;
ln	(6x 1)4 arcsin2 2x			;

5.15.ln (x x2 a); y'(x) ?

5.16.ln (x x2 5); y'(x) ?

5.17.	y	1	ln	x a	;	y '(x) ?
		2a		x a

x 2

;

y '(x) ?

5.22.

5.18.

y ex 1 e2x

arcsinex ; y'(x) ?

x 2

5.19.

5.23.

y log

2; y '(x) ?

y ex arcctgex

1 e2x ;

y'(x) ?

5.24.

y log

3 3;

y '(x) ?

5.20.

5.25.

y xx3 ;

где x 0, y '(x) ?

x ln cos

y'(x) ?

y xcos

;

где x 0, y '(x) ?

5.26.

5.21.

y x2

ex2

ln x;

y'(x) ?

5.27. Составить уравнение той касательной к кривой

y 2x , которая

перпендикулярна прямой

y 3x . Сделать чертеж.

5.28. Зависимость между количеством

x(t) вещества, получаемого в некоторой

химической реакции,

временем

t выражается уравнением: x(t) a(1 e kx ) .

Определить скорость реакции.

5.29.

y 2sh

x log

arcctg

; y'(x) ?

Ответы

5.1. y'(x) 36 x2 (3x3

5)3 ; 5.2. y'(x) 60 x4 (2 4x5 )2 ;

y'(1) 240 ;

3 cos

y' (x)

3ctg

cosec2

3 3x

5.3.

sin

2 ;

20sin

4 4x

y'(x)

tg4

sec2

5.4.

3sin

3 4x

3 ;

5.5.

y'(x) 4x3 cos x4 ;

5.6.

y'(x)

5x4

5x4sec3 x5 ; 5.7.

y'(x)

;

cos

1 x 2

arcsin 3

1 2sin

5.8.

y'(x)

; 5.9.

y'(x)

y'(0)

;

(1 x2 ) arcctg 4 x

2cos

	1 2cos				x
	1 2cos							π		4
				3
5.10.	y'(x)			3		, y'(			)		(1 3)		;
	y'(x)	3sin	2	x		, y'(		2	)	3	(1 3)
			2	x				2		3
				3
				3
						ln(2x 3)
											2 x
				5 3							2 x
	y'(x) 5(2x 3)			5 3

5.11.							2		x		2x 3	;
							2		x		2x 3

4ln sin x

y'(x) 4(sin 4

x)arcctg4 x ctgx arcctg4x

5.12.

16 x2

;

5.13.

y'(x)

6ctg3x

tg5x

;

sin 8x

y'(x)

5.14.

;

2(x

2(2 3x)

4x 2 arcsin 2x

6x 1

5.15.

y'(x)

; 5.16. y'(x)

; 5.17.

y'(x)

;

tg3

5.18.

y'(x)

; 5.19. y'(x) e x arctge x ; 5.20.

y'(x)

;

5.21. y'(x) x ex 2 (2x2 ln x 2ln x 1) ; 5.22. y'(x)

2e3x

;

1 e2 x

5.23.

y'(x)

ln 2

; 5.24.

y'(x)

ln 3

; 5.25. y'(x) xx3 2 (3ln x 1) ;

2x ln 2 x

3x ln 2 x

2 (ln x sin

5.26. y'(x) xcos

x cos

)

2x 6y 9 0 ;5.28. v ake kt ;

; 5.27.

5.29.

y'(x) 2sh

x ln 2 ch

log

arcctg

2sh x

2x x

ln 4

arcctg

2sh x

x ln

arcctg

(9x

4)arcctg

ln 4

y 'x .

§6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Если у есть функция от х и при этом все соответствующие друг другу

действительные значения х	и у удовлетворяют	уравнению	F(x, y) 0 , то
говорят, что функция y(x)	задана уравнением	F(x, y) 0 неявно. Для
нахождения производной	функции y(x), заданной неявно		уравнением

F (x, y) 0 , достаточно продифференцировать по x обе части этого уравнения,

рассматривая у как функцию от x, и из полученного уравнения выразить

Примеры с решениями

Пример 1. Функция y y(x) задана неявно уравнением x2 2xy y3 0.

Найти y 'x .

Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y³ как сложную функцию от х, следовательно, ( y3 ) ' 3y2 y ' . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:

		2x 2 ( y xy ') 3y2 y ' 0,
		y ' (9 y2 2x) 2 ( y x),
			y '	2 ( y x)
			y '	9 y2 2x
				9 y2 2x
	y '	2 ( y x)
Ответ:	y '	9 y2 2x .
Ответ:		9 y2 2x .
						ctg	x
Пример 2. Найти производную функции y 4					x 2	ctg	2 .

Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):

ln y ln 4x 2ctg 3

Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме, удобной для дифференцирования:

ln y 14 ctg 3x ln(x 2)

Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.


1		y '	1		1		ln(x 2)	ctg	x	1
											.
	y		4		2 x	3			3	x 2	.
	y		4	sin	2 x	3			3	x 2
				sin
					3
														ctg	x
Выразим y′, домножив обе части этого уравнения на y												4	x 2	ctg	3
												4			3

x y ' 4x 2ctg 3

		x
ctg		3	ln(x 2)
		3		2 x
	x 2		3sin	2 x
			3sin
				3

x y ' 4 x 2 ctg 3

Ответ:

		x
ctg		3	ln(x 2)
				2 x
	x 2
			3sin

				3

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной. Пример 3. Найти производную функции

								y	(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4
																				.

											3 (5x 1)2 3x 1
											3 (5x 1)2 3x 1
Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения
(D( y) (	1		; )			принимает					положительные								значения.					Воспользуемся
(D( y) (			; )			принимает					положительные								значения.					Воспользуемся
3
логарифмической производной и свойствами логарифмов:
							ln y ln				(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4


												3 (5x 1)2 3x 1
ln y 2ln						x 4	3ln(x2				2) 4ln				3 2x		2	ln(5x 1)					1	ln(3x 1)
																	2						1
																	3					2
		1			2		3						4			2	3		1		1	2		1
		1		y '	2		3			2x			4	( 2)		2			1	5	1			1	3,
				y '	x 4			x2 2		2x			2x	( 2)						5					3,
		y			x 4			x2 2			3		2x			3 5x 1					2 3x 1
из этого равенства найдѐм y ,											умножив обе его части на

y	(x 4)2	(x2	2)3	(3 2x)4
					.


	3 (5x 1)2			3x 1

(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4

2x 3

2(3x 1)

3 (5x 1)2

3x 1

3(5x 1)

Ответ:

(x 4)2 (x2

2)3

(3 2x)4

2x 3

3(5x 1)

2(3x 1)

3 (5x 1)2

3x 1

x 4

Пусть у есть функция от аргумента x:

y f (x)

(1)

Задавая

значения

x(x D) ,

по

формуле

(1)

будем

получать

соответствующие значения

y( y E) .

Можно, однако, считать у независимой

переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1) можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1) разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, еѐ

обозначают x f 1 ( y).
И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство
				f ( f 1 ( y)) y,				(2)
которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию								x f 1 ( y)
неявно.
Для вычисления		производной		функции			x f 1 ( y) продифференцируем
уравнение (2) по у:
			f '(x) x '( y) 1,
Откуда x '( y)	1		или x '( y)	1		, если	y 'x 0.
Откуда x '( y)	f '(x)		или x '( y)	y '		, если	y 'x 0.
	f '(x)			y '	x
					x

Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 4. Вывести формулу производной функции y arcsin x

	Решение. Рассмотрим функцию y arcsin x , где x 1;1 ,
	Решение. Рассмотрим функцию y arcsin x , где x 1;1 ,					y	2	;	2	.
							2		2
Обратная к ней функция имеет вид x sin y , причѐм x '( y) cos y 0 при
y			;
y		2	;	2	. Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной
		2		2

функции, получим

y '				1			1	.
	x
			x 'y				cos y

Поскольку cos y > 0 для всех y
				;		, то, учитывая, что x sin y ,
		2			2

0 , при x 1;1 . Следовательно:

получаем cos y 1 sin2

1 x2

y 'x

cos y

т.е. (arcsin x) '

, где

x 1;1

1 x2

Ответ: (arcsin x) '

, где x 1;1 .

Пример 5. Вывести формулу производной функции, обратной к функции

y sh x .

Решение.

Дана

функция

y sh x

e x

, еѐ производная

y ' (sh x)' ch x

ex e x

0 , для всех

x R ,следовательно, функция y sh x

на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую arsh x .

Уравнение x sh y задаѐт эту обратную функцию неявным образом.

	, откуда		1	.


Продифференцируем обе части по х: 1 ch y yx		yx	ch y

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025910.01 Кб3Генный допинг.docx
#
05.08.20193.97 Mб14география итоговый вариант.docx
#
01.04.20251.33 Mб2Гидравлика методичка по лабораторным НОВАЯ.doc
#
13.02.201561.44 Кб14Гидросфера.doc
#
01.04.2025223.23 Кб0ГИТИС реферат вариант 8.02.2013 ФМТ.doc
#
12.03.20161.9 Mб367ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб81ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
01.03.2025138.75 Кб2Глава_7_-_Целеполагание_и_планирование_в_п_проф...doc
#
19.08.201937.03 Кб4ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб4ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб247ГО и ЧС.doc