1.4. Основы булевой алгебры
Булева алгебра широко используется для описания функционирования некоторых из аппаратных средств компьютера, поскольку компьютер использует двоичную систему счисления, а логические переменные в булевой алгебре также принимают только два значения :истина и ложь. Булева алгебра названа в честь ее разработчика - английского математика 19 века Дж. Буля. Исходным понятием логики высказываний является простое высказывание, которое не определяется через другие понятия, так как является базовым. Если смысл, содержащийся в высказывании, соответствует действительности, то высказывание называют истинным, в противном случае – ложным. Так например, высказывание «8 - четное число» является истиной, а высказывание «СПб – столица Российской Федерации» - ложью.
Булева алгебра, называемая также алгеброй логики, оперирует с переменными, например Х и У, которые могут принимать только два значения: "истина" или "ложь", кодируемые посредством двоичных цифр 1 и 0 соответственно. Операции над этими переменными выполняются логическими элементами. Элемент реализует одну из трех основных логических операций: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, а также комбинацию данных операций.
Под логическим элементом компьютера понимают электронную схему, реализующую элементарную логическую функцию. Для кодирования состояний 1 и 0 в логических элементах соответствующие им сигналы представляют одним из двух уровней напряжения, например 2 вольта и 0 вольт. Высокий уровень напряжения соответствует значению 1-“истина”, а низкий – “ложь” . Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое определяет выполняемую логическую функцию.
Функционирование логического элемента представляют посредством таблиц истинности, в которых определены все сочетания возможных значений входных и выходных сигналов - результатов операции для каждой из входных комбинаций. Рассмотрим функционирование основных логических схем.
Логическая схема «И». Данная схема выполняет операцию конъюнкции (логическое умножение) двух или более входных сигналов. Представление схемы «И» на два входа Х и У показано на рис. 1.1.
Рис. 1.2. Логическая схема «И»
Таблица истинности данной схемы имеет следующий вид:
|
x |
y |
z=x ^ y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Знак «^» обозначает логическую операцию конъюнкции. Единица на выходе схемы «И» появляется только тогда, когда на обоих входах x и y будут единицы. Если хотя бы на одном входе ноль, то выходной сигнал будет равен нолю. Связь между входными сигналами x, y и выходным сигналом z определяется уравнением: z = x ^ y (читается как "x и y"). Операция конъюнкции обозначается символом "&" и читается как "амперсанд" (является сокращенной записью английского слова «and»). Логическая операция конъюнкция может быть использована для математического описания следующей электрической схемы (рис. 1.3):
Рис. 1.3. Схема реализации конъюнкции
Индикатор сработает только в том случае, если ключи «К1» и «К2» будут включены. Таким образом, логику работы данной схемы можно описать логической функцией конъюнкции, в которой К1 и К2 являются входными сигналами, а выходной сигнал (протекающий ток) воздействует на индикатор.
Логическая схема ИЛИ. Схема ИЛИ реализует операцию дизъюнкции двух или более логических переменных. Если на одном входе схемы ИЛИ сигнал равняется 1, то выходной сигнал также будет равен 1.
Условное обозначение двухвходовой схемы ИЛИ показано на рис.1.4. Символ "1" на схеме обозначает операцию дизъюнкции. Функциональная связь между выходным сигналом z и входными сигналами x и y представляется выражением: z = x v y (читается как "x или y").
Рис. 1.4. Логическая схема «ИЛИ»
Таблица истинности схемы ИЛИ имеет вид:
|
x |
y |
z=x v y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Логическая схема Инверсии . Данная схема выполняет операцию отрицания. Функциональная связь между входным сигналом Х и выходным сигналом z представляется уравнением z = /x, где «/» (слэш) читается как ""Инверсия х" или Не x". Если входной сигнал равен 0, то на выходе схемы будет1, а при входном сигнале, равным 1, на выходе будет 0. Условное обозначение данного элемента на схеме представлено на рисунке 1.4.
Рис. 1.5. Логическая схема «Инверсии"
Таблица истинности схемы «Инверсия» имеет вид:
|
x |
z |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Более сложные логические схемы для выполнения логических преобразований информации могут быть построены из этих трех простейших элементов. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. Для логических функций двух переменных существует только 16 различных функций, таблицы истинности представлены ниже:
|
x1 |
x2 |
F0 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
F6 |
F7 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
x1 |
x2 |
F8 |
F9 |
F10 |
F11 |
F12 |
F13 |
F14 |
F15 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В число этих функций входят 6 «вырожденных» функций одной переменной: (константы: F0=0 и F15=1; переменные: F3=x1 и F5=x2; инверсии: F12=not x1 и F10=not x2). Остальные функции двух переменных приведены ниже в таблице:
|
Функция |
Название |
Читается |
|
F1 |
конъюнкция |
x1 и x2 |
|
F7 |
дизъюнкция |
x1 или x2 |
|
F6 |
Сложение по модулю 2 |
x1 неравнозначно x2 |
|
F8 |
стрелка Пирса |
ни x1, ни x2 |
|
F9 |
эквивалентность |
x1 равнозначно x2 |
|
F11 |
импликация |
если x2, то x1 |
|
F14 |
штрих Шеффера |
неверно, что x1 и x2 |
|
F2 |
запрет по x2 |
неверно, что если x1, то x2 |
|
F4 |
запрет по x1 |
неверно, что если x2, то x1 |
|
F13 |
импликация |
если x1, то x2 (x1 -> x2)
|
В логических функциях переменные имеют всего два возможных значения, поэтому количество различных функций ограничено.