1.3.2. Двоичная система счисления

Люди во все времена предпочитали использовать десятичную систему счисления, вероятно потому, что с древних времен считали по пальцам. Но не всегда люди пользовались десятичной системой счисления, в Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи числа в десятичной системе счисления. Арифметические операции, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Таблица сложения в двоичной системе имеет вид:

0+0=0	1+0=1
0+1=1	1+1=10 (1 - перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел похожа на десятичную систему счисления:

0*0=0	1*0=0
0*1=0	1*1=1

1.3.3. Шестнадцатеричная система счисления

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно компактнее записи чисел в двоичной системе. Данная система позволяет одной шестнадцатeричной цифрой представить четыре двоичных цифры. Например, при наладке аппаратных средств компьютера или разработки программ возникает необходимость "заглянуть " в память машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел.

Поэтому для упрощения восприятия двоичного числа его разбивают на группы по четыре разряда, так как для кодирования одной шестнадцатеричной цифры требуется 4 бита. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе счисления используются 10 цифр десятичной системы и 6 первых букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Систему, имеющую основание 16, назвали шестнадцатеричной (hexadecimal). В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, основание системы – 8, но данная система счисления практически не применяется в настоящее время.

1.3.4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода числа, например из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо выполнить операцию деления десятичного числа на основание двоичной системы счисления, то есть на 2. На рис.1.1 показан пример перевода десятичного числа 23 в двоичное число:

Рис. 1.1. Перевод десятичного числа 23 в двоичное число

Cтаршей цифрой сформированного двоичного кода является бит, полученный последним. Таким образом, десятичное число 23 в двоичной системе счисления равняется 10111. Для проверки правильности полученного кода можно выполнить следующее преобразование согласно формуле (1.1): 1*2⁴ +0*2³ + 1*2² +1*2¹ +1*2⁰ = 23.

Перевод числа 4A3F₁₆ из шестнадцатиричной системы счисления в десятичную систему выполняется следующим образом:

4A3F₁₆ = 4*16³+A*16²+3*16¹+F*16⁰ = 19007₁₀. Необходимо помнить, что цифра A₁₆ =10₁₀, а F₁₆ =15₁₀ .

Для записи целого двоичного числа в 8- или 16-ричной системе счисления, его нужно разбить на группы по 3 или 4 цифры справа налево соответственно для 8- и 16-ричной систем счисления.

Например, двоичный код 11000111₂ в 8-ричной системе счисления соответствует 307_8, а в 16-ричной системе - С7₁₆ .

Ниже приведена таблица соответствия десятичных, двоичных и шестнадцатиричных систем счисления:

Десятичная	Двоичная	Шестнадцатиричная
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F