Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gmail / Учебное пособие -Школьный курс -часть 3.doc

Скачиваний:

226

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

4.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

8.3. Тригонометрические неравенства

Определение 8.5. Неравенства, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.

При решение тригонометрических неравенств используют периодичность тригонометрических функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Функции иимеют наименьший положительный период. Поэтомунеравенства вида

, ,,,

, ,,

достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины , тогда множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида, .

Пример 8.32. Решить неравенство .

Решение. На отрезке функциямонотонно убывает, а уравнениеимеет одно решение(рис. 8.2)

рис. 8.2.

На отрезке функциямонотонно возрастает, и уравнениеимеет решение.

Значения из отрезка являются решениями данного неравенства на отрезке. Таким образом, множество решений неравенствана отрезкеесть объединение отрезков.

Функция периодична с периодом, поэтому все значения, каждое из которых удовлетворяет неравенствам

, , ,

являются решениями исходного неравенства или

, .

Ответ можно записать в более компактном виде:

, .

Неравенства вида

, ,,

удобно решать сначала на интервале , анеравенства вида

, ,,–

на интервале .

Так как функции иимеют период, поэтому прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида,, получим все решения данных неравенств.

Пример 8.33. Решить неравенство .

рис. 8.3.

Решение. На интервале функциямонотонно возрастает и уравнениеимеет одно решение(рис. 8.3).Решениями данного неравенства на всей числовой прямой являются

, ,

или , .

Ответ: , .

Пример 8.34. Решить неравенство .

Решение. Преобразуем выражение в левой части неравенства:

тогда

(рис. 8.4).

Ответ: ;.


рис. 8.4.	рис. 8.5.

Замечание 8.1. При решении тригонометрических неравенств можно вместо числовой оси использовать числовую окружность, которая корнями тригонометрических уравнений разбивается на дуги. Затем применяется метод интервалов.

Пример 8.35. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ ,. Найдем корни уравнения

Отметим найденные корни и ОДЗ на тригонометрической окружности (рис. 8.5). При переходе через точку, как и в традиционном методе интервалов, знак неравенства меняется на противоположный. Для определения знака, присущего каждой дуге, возьмем, например, точку и определим знак неравенства в этой точке: