Свойства логарифмов

Пусть .

1. Основное логарифмическое тождество:

.

2. Логарифм произведения, частного и степени:

;

четное целое.

3. Формула перехода к новому основанию. Пусть Тогда

, в частности, , при.

Кроме того, .

4. Пусть , тогда

, ;

, целое четное.

5. .

6. Для любого положительного числа существует, и притом только одно, такое действительное число, что.

7. Из равенства следует, что(и наоборот).

Пример 7.1. Вычислить: a) ; б); в); г); д); е).

Решение. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

.

Ответ: а) ; б); в); г) 0; д); е).

Пример 7.2. Вычислить: a) ;

б) ; в); г);

д) ; е) .

Решение. а)

б)

;

в) ;

г)

;

д)

;

е)

.

Ответ: а) 3; б) 1; в) 8; г) 1; д) ; е) .

Пример 7.3. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 1.

Пример 7.4. Найти ,.

Решение. .

Ответ: 8.

Пример 7.5. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 1.

Пример 7.6. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.7. Вычислить .

Решение.

Ответ: 4.

Пример 7.8. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 7.

Пример 7.9. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.10. Вычислить .

Решение. .

Ответ: 48.

Пример 7.11. Найти значение выражения , если .

Решение.

Ответ: .

7.2. Логарифмические уравнения

Выделим некоторые методы решения логарифмических уравнений.

1. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма.

.

2. Уравнения вида

.

3. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием. Уравнения вида равносильны каждой из следующих систем:

или,

выбирают ту систему, которая проще для решения.

4. Уравнения вида

равносильно системе

или .

5. Применение свойств логарифмов: произведения, частного и степени.

6. Переход к одному основанию в уравнениях, содержащих логарифмы с различными основаниями. Отметим, что предпочтительнее переходить к основанию, не содержащему переменной, чтобы не потерять корни уравнения.

7. Замена переменной.

8. Функциональный метод.

Замечание 7.2. Формальное использование перечисленных выше методов может привести к изменению ОДЗ уравнения. При нетождественных преобразованиях уравнения необходимо сделать проверку.

Пример 7.12. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: 2; 9.

Пример 7.13. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.13. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: 2.

Пример 7.14. Решить уравнение

Решение. Преобразуем логарифмы, стоящие в левой части уравнения:

.

.

Исходное уравнение будет равносильно системе

.

Введем замену , тогда

Ответ: 2; .

Пример 7.15. Решить уравнение .

Решение. Учитывая, что , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

.

Ответ: 0,1; .

Пример 7.16. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.17. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 7.18. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 48.

Пример 7.18. Решить уравнение

Решение.

.

Ответ: 2.

7.3. Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции.

Перечислим некоторые методы решения логарифмических неравенств.

1. При неравенства вида

.

При

.

2. Замена переменной.

Пример 7.19. Решить неравенство .

Решение. Так как основание логарифмов , то исходное неравенство равносильно системе:

Ответ:

Пример 7.20. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что

,

тогда

.

Ответ: .

Пример 7.21. Решить неравенство .

Решение. Так как , то

.

Ответ: .

Пример 7.22. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства: .

.

Сделаем замену: , тогда

.

Ответ: .

Пример 7.23. Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Если , то

,

нет решений.

2. Если , то

.

Ответ: .