Определение обратных тригонометрических функций
|
|
|
|
|
|
Свойства обратных тригонометрических функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
если
,
если
;
,
если
Некоторые значения обратных тригонометрических функций
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. Тригонометрические уравнения
Определение 8.3. Уравнения, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.
Рассмотрим первоначально основные виды и способы решения простейших тригонометрических уравнений.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
Пример 8.10. Решить
уравнение
.
Решение.
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.11. Решить
уравнение
.
Решение.
,
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.12. Решить
уравнение
.
Решение.
,
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.13. Решить
уравнение
.
Решение.
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.14. Решить
уравнение
.
Решение.
Воспользуемся четностью функции
,
тогда
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.15. Решить
уравнение
.
Решение.
Учитывая нечетность функции
,
имеем
,
.
Ответ:
,
.
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно привести к одному или нескольким простейшим. Отметим, что не существует единого алгоритма решения тригонометрических уравнений. Выделим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.
1. Разложение на множители.
2. Однородные уравнения.
Определение
8.4.
Однородными
тригонометрическими уравнениями
й
степени относительно
и
называются уравнения вида:
|
|
(8.3) |
,
где
– действительные числа,
.
Сумма показателей степени при
и
у всех слагаемых уравнений равна
.
Замечание 8.1.
Отметим,
что
не может быть равен нулю, так как при
исходное уравнение примет вид:
,
откуда
,
что невозможно, поскольку
и
не могут равняться нулю одновременно.
Разделим уравнение
(8.3) на
,
тогда имеем
|
|
(8.4) |
,
В (8.4) сделаем замену
,
тогда получим алгебраическое уравнение
.
3. Введение вспомогательного аргумента (при этом используются формулы (8.1), (8.2)).
4. Метод оценки левой и правой части. Такие уравнения решаются путем сведения к системе тригонометрических уравнений.
5. Использование формул понижения степени (формул половинного аргумента).
Пример 8.16. Решить
уравнение
.
Решение.
,
.
Ответ:
;
,
.
Пример 8.17. Решить
уравнение
.
Решение.
,
.
Так как при
,
,
решения первого и третьего уравнения
совокупности совпадают, то получаем:
,
и
,
.
Ответ:
;
,
,
.
Пример 8.18. Решить уравнение
.
Решение. Используя
четность функции
и формулы приведения, получаем
,
.
Тогда исходное уравнения примет вид:
.
Так как
,
то
.
Тогда из последнего уравнения имеем:
,
,
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.19. Решить
уравнение
.
Решение.
,
.
Ответ:
;
,
.
Пример 8.20. Решить
уравнение
.
Решение. Сделаем
замену
,
причем
,
тогда исходное уравнение примет вид
.
Ответ:
.
Пример 8.21. Решить
уравнение
.
Решение.
Введем новую
переменную
,
тогда
.
Ответ:
.
Пример 8.22. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Сделаем замену
,
тогда
,
.
Ответ: 
;
,
,
.
Пример 8.23. Решить
уравнение
.
Решение. ОДЗ:
,
.
.
Сделаем замену
,
тогда
,
.
Ответ: 
;
,
,
.
Пример 8.24. Решить
уравнение
.
Решение. ОДЗ:
,
.
Пусть
,
тогда
.
Исходное уравнение примет вид
,
.
Ответ: 
;
,
,
.
Пример 8.25. Решить
уравнение
.
Решение. Данное
уравнение является однородным. Разделим
обе части уравнения на
.
Имеем
.
Ответ:
.
Пример 8.26. Решить
уравнение
.
Решение. Уравнение
является однородным, поэтому разделим
обе части уравнения на
:
.
Пусть
,
тогда имеем:
,
.
Ответ: 
;
,
.
Пример 8.27. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Последнее уравнение
является однородным. Разделив обе части
уравнения на
,
получим
,
.
Ответ: 
;
,
.
Пример 8.28. Решить
уравнение
.
Решение.
Данное уравнение не является однородным.
Перепишем его следующим образом:
.
Умножив обе части уравнения на
и приведя подобные слагаемые, получим:
.
Разделив обе части
уравнения на
и положив
,
получим:
.
Ответ: 
,
.
Пример 8.29. Решить
уравнение
.
Решение. Воспользуемся формулами двойного аргумента:
.
Разделим обе части
уравнения на
и сделаем замену
,
тогда получим:
,
.
Ответ: 
;
,
.
Пример 8.30. Решить
уравнение
.
Решение. Преобразуем исходное уравнение, используя формулы понижения степени (половинного аргумента):
,
.
Ответ: 
;
,
.
Пример 8.31. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Ответ:
,
.
Пример 8.32. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Введем замену
,
получим:
.
Ответ: 
.
Пример 8.33. Решить
уравнение
.
Решение. Разделим
обе части уравнения на
:
,
.
Ответ:
,
.
Пример 8.34. Решить
уравнение
.
Решение. Так
как функции синус и косинус ограничены,
то равенство достигается только тогда,
когда
и
одновременно, следовательно,
,
.
Приравняем правые части полученных равенств:
.
Подставляя
полученное для
значение, получим общее решение системы
,
.
Ответ:
,
.