9. . (Ответ: .)

10. . (Ответ: .)

Решить неравенство (11-13)

11. . (Ответ:, .)

12. .

(Ответ:

, .)

13. . (Ответ:, .)

9. Системы уравнений

9.1. Основные понятия

Определение 9.1. Если необходимо найти общее решение двух уравнений ,, то говорят, что нужно решить систему уравнений:

Определение 9.2. Решением системы называется пара значений неизвестных, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Решить систему, значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Определение 9.3. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 9.4. Равносильные (эквивалентные) системы – системы, имеющие одни и те же решения. В частности, если обе системы не имеют решений, то они равносильны.

При решении систем уравнений обычно переходят к более простой равносильной системе с помощью следующих преобразований:

1. изменение порядка следования уравнений в системе;

2. умножение уравнения системы на произвольное ненулевое число;

3. замена уравнений суммой или разностью этих уравнений.

9.2 Методы решения систем алгебраических уравнений

Для решения систем алгебраических уравнений могут быть использованы следующие методы.

1. Метод подстановки:

а) выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения системы;

б) найденное выражение подставить в другое уравнение системы;

в) найти корни полученного уравнения;

г) найти соответствующие значения другой переменной.

2. Метод алгебраического сложения:

а) уравнения системы сложить почленно, предварительно умножив каждое их них на такие числа, чтобы в результате была исключена одна из переменных;

б) решить полученное уравнение;

в) найти соответствующие значения другой переменной.

3. Метод введения новых переменных.

4. Метод разложения на множители.

5. Применение однородных уравнений.

6. Системы, симметричные относительно неизвестных.

Определение 9.5. Система называется симметричной, если она не меняется при взаимной замене неизвестных.

Симметричная система двух уравнения с двумя неизвестными решается подстановкой: ;.

7. Метод умножения и деления основан на следующих равносильных переходах:

где ,.

8. Графический метод.

Замечание 9.1. Перечисленные выше методы также могут быть использованы для решения систем с тремя и более неизвестными.

Пример 9.1. Решить систему

Решение.

Ответ: .

Пример 9.2. Решить систему

Решение. Умножим первое уравнение на и прибавим его ко второму:

Ответ: .

Пример 9.3. Решить систему

Решение. Умножим второе уравнение на и прибавим его к первому:

Ответ: .

Пример 9.4. Решить систему

Решение.

Сделаем замену: ,, тогда

Переходя к исходным переменным, получим:

1) решений нет.

2)

Ответ: .

Пример 9.5. Решить систему

Решение. Сделаем замену: ,, тогда

Переходя к исходным переменным, получим:

1)

2)

Ответ: .

Пример 9.6. Решить систему

Решение. Первое уравнение является однородным относительно и. Сделаем замену:, тогда

Переходя обратно к переменным ,:

1)

2)

Ответ: .

Пример 9.7. Решить систему

Решение. Умножим первое уравнение системы на 17, а второе – на 11:

Вычтем из первого уравнения второе:

Первое уравнение является однородным. Учитывая, что не является решением системы, разделим его на:

.

Сделаем замену: , тогда

.

Возвращаясь к исходным переменным, в итоге имеем:

1)

2)

Ответ: .

Пример 9.8. Решить систему

Решение. Сделаем замену: ,, тогда исходная система примет вид. Умножим второе уравнение на 2 и прибавим его к первому:

Переходя обратно к переменным , имеем:

Ответ: .

Пример 9.9. Решить систему

Решение. Многочлены в правых частях уравнения системы являются симметричными относительно неизвестных и. Проведем следующие преобразования:

.

Сделаем замену: ,, тогда исходная система примет вид:

Возвращаясь к исходным переменным, имеем

1) 2)

Ответ: .

Пример 9.10. Решить систему

Решение. Разделим первое уравнение системы на второе:

Ответ: .

Замечание 9.2. Рассмотренные в данном пункте методы также используют для решения систем, где функции ине являются многочленами. В этом случае необходимо следить за областью определения и стараться избегать переходов, при которых могут появиться посторонние решения или возможна потеря решений.