Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Теорема 10.5. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений

Функции на отрезке.

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и выбрать те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 10.11. Найти точку максимума функции .

Решение. 1.

2. Найдем производную функции:.

3. Критические точки:

.

Производная существует во всех точках области определения функции.

4. Отметим найденные точки на числовой оси и определим знак производной справа и слева от этих точек:

При переходе через точку знак производной меняет свой знак с плюса на минус, следовательно, в силу теоремы 10.4,- точка максимума.

Ответ: .

Пример 10.12. Найти наименьшее значение функции на отрезке.

Решение. Воспользуемся схемой нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, представленной выше.

1. Найдем производную функции: .

2. Критические точки:

.

Отрезку принадлежит только точка.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

.

4. Наименьшее значение .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Группа А

Найти производную функции

Группа B

Найти производную функции (1-4)

1.	3. .
2. .	4. .

5. Найти наибольшее значение функции на отрезке.

(Ответ:.)

6. Найти наименьшее значение функции на отрезке. (Ответ:.)

7. Найти точку минимума функции (Ответ:.)

8. Найти точку максимума функции (Ответ: 9.)

11. Комплексные числа

11.1. Определение комплексных чисел

Многие задачи математики, физики и практики сводятся к решению алгебраических уравнений. Однако не все алгебраические уравнения с действительными коэффициентами имеют действительные корни (например, .) Поэтому приходится расширять множество действительных чисел таким образом, чтобы стала возможной операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа.

Определение 11.1. Комплексным числом называется выражение вида(алгебраическая форма комплексного числа), где ,- действительные числа;- некоторый символ, такой, что.

Определение 11.2. Комплексное число называетсясопряженным комплексному числу .

Определение 11.3. Число называетсядействительной (реальной) частью комплексного числа (обозначают ). Число - егомнимой частью (обозначают ). Число называютмнимой единицей.

11.2. Действия над комплексными числами

Определение 11.4. Комплексные числа иназываютсяравными тогда и только тогда, когда равны их мнимые и действительные части:

Пусть заданы два комплексных числа и .Тогда можно ввести следующие операции над этими числами.

1. Суммой двух комплексных чисел называется число

;

2. Разностью комплексных чисел и называется число

;

3. Произведением чисел и называется число

;

4. Частным от деления числа на называется число

.

Замечание 12.1. Таким образом, операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 11.1. Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1) .

2) .

3)

.

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

.