8. Тригонометрия

8.1. Преобразование тригонометрических выражений

Определение 8.1. Числовой единичной окружностью называют окружность , у которой точка– начало отсчета, положительное направление отсчета – против часовой стрелки, единичный отрезок – часть дуги окружности, длина которой равна длине радиуса окружности.

Определение 8.2. Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

, .

рис. 8.1

Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой окружности установлено соответствие: каждому действительному числу соответствует точкачисловой окружности такая, что длина дугиравна, а каждая точка окружности соответствует бесконечному множеству чисел вида ,

–длина одной из дуг, соединяющих точки и. Любая точкана числовой окружности имеет декартовы координаты(рис. 8.1).

–ордината точки ;,

–абсцисса точки ;.

Углы в градусах
Углы в радианах

Значение тригонометрических функций некоторых углов

	0
	0				1	0
	1				0		0
	0		1		-	0	-
	-		1		0	-	0

Основные тригонометрические тождества

Формулы суммы и разности аргументов

Формулы двойного и тройного аргументов

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Если ,, то

Преобразование суммы и разности тригонометрических

функций в произведение

Также бывает удобно использовать следующие преобразования.

,

(8.1)

где , аопределяется из формул;.

,

(8.2)

где , аопределяется из формул;.

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы приведения

Формулы, сводящие значения тригонометрической функции аргумента ,, к функции аргумента, называют, обычно,формулами приведения.

Справедливы следующие правила:

1. при переходе от функций углов ,к функциям угланазвание функции меняют на «ко-функцию»; при переходе от функций углов,к функциям углаимя функции не меняется;

2. знак определяется по функции, которую нужно преобразовать.

Функция	Аргумент

Пример 8.1. Найти значение выражения , если.

Решение. .

Ответ: .

Пример 8.2. Найти значение выражения , если.

Решение. Возведем обе части равенства в квадрат, тогда получим:

Ответ: .

Пример 8.3. Вычислить: .

Решение. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций и формулами приведения для каждого множителя исходного выражения:

;

;

;

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Пример 8.4. Упростить выражение .

Решение. Используя формулы приведения, получим

	;
;	.

Тогда

.

Ответ: 2.

Пример 8.5. Найти значение выражения ,,, еслии.

Решение. Так как , тои

.

; .

Ответ: .

Пример 8.5. Найти значение выражения , еслии.

Решение. Преобразуем первоначально , используя формулы двойного аргумента.

.

Вычислим . Так как по условию, тои

, тогда .

Ответ: .

Пример 8.6. Найти значение выражения , еслии.

Решение. Воспользуемся соотношением , тогда

,

откуда . Так каки по условию, топринадлежит четвертой четверти, то есть. Тогда, поэтомуи.

Ответ: .

Пример 8.7. Найти значение выражения , если, а.

Решение.

.

Найдем . По условию,

,

следовательно, . Тогда получаем

и .

Ответ: .

Пример 8.8. Найти значение выражения , если, а.

Решение. Так как по условию , а, то, поэтому. Тогда имеем

.

Ответ: .

Пример 8.9. Упростить выражение , если.

Решение.

.

По условию ;, следовательно,и значит,

.

Тогда

.

Из следует, что, значит. Тогда

.

Ответ: .