Диплом Костин С.С
.pdf4.4. Модификация случая чистого подражания
Переобозначим −ωi = ai. Теперь ai несет смысл ”частот удач”, тогда система примет вид:
n |
|
|
|
|
j |
|
|
|
(4.6) |
x˙i = aixi − xi |
ajxj, i = 1, n. |
|||
=1 |
|
|
|
|
Ранее мы рассматривали модель выбора стратегий для случая, когда фактором, влияющим на отбор какой—то конкретной i-й стратегии в отличие от других, была наименьшая соответствующая ей частота неудач, то есть ωi. Теперь предположим, что в модели имеет место случай чистого подражания, но величины ai теперь являются функциями от времени. В данном предположении ai теперь показывают субъективную оценки эффективности каждого варианта поведения. Пусть величины ai подчиняются следующей системе уравнений:
|
|
|
(4.7) |
a˙i(t) = xi(bi − ai(t)), i = 1, n, |
|||
здесь bi - некоторая константа, обозначающая оценку объективной ценности i-й стратегии. Такая динамика означает, что с течением времени по мере накопления информации о каждом решении субъективная оценка эффективности приближается к объективной ценности, причем скорость изменения оценки пропорциональна резерву неучтенной информации (bi − ai) и удельной доле субъектов (популярности стратегии), использующих это решение.
Teoрема. Если динамика использования стратегий из множества M описывается системой (4.6), (4.7) и b1 > maxbj, тогда вариант выработанного поведения при испол-
нении роли зависит от начальных условий.
Рассмотрим такую систему для случая двух переменных (n = 2) при b1 > b2. С учетом
того, что x1 = 1 − x2, получим систему: |
|
|
|
|
x˙1 = x1(1 − x1)(a1 − a2), |
|
(4.8) |
||
a˙1 = x1(b1 |
− |
a1), |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a˙2 = (1 − x1)(b2 − a2)
Точки с координатами x1 = 0 и точка с координатами x1 = 1, a1 = b1 являются состояниями равновесия системы (4.8).Эта система имеет инвариантную плоскость a2 = b2.
Действительно, в этом случае, последнее уравнение обращается в тождество. Состояния равновесия на прямой x1 = 0 устойчивы при a1 < b2, а не устойчивы при a1 > b2. Фазовый портрет может быть построен с помощью метода изоклин и выглядит как на Рис.7.
Аналитические результаты подтверждаются работой программы (это можно видеть из Рис.7 и Рис.8). Как видно из Рис.7, в результате такого процесса при любых начальных условиях в системе обязательно происходит выработка, отбор определенного поведения. Тем не менее, результат этого отбора зависит от начального состояния. Какая стратегия
20
Рис.8 Фазовый портрет полученный с
Рис.7 Фазовый портрет системы (4.8)
помощью программы
полученный аналитически
в итоге будет лучшей, зависит от начального состояния. Не смотря на то, что объективная ценность b1 стратегии v1 выше чем у второй стратегии, при определенных начальных условиях x1(t0), стратегия v1 перестает использоваться, все субъекты с течением времени переходят на вторую стратегию v2. Это происходит по причине того, что в начальный момент времени стратегию v1 использует слишком малое количество субъектов и субъектам не хватает времени, чтобы изучить варианты поведения. На следующем графике, полученном с помощью программы, можно видеть динамику удельных долей при b1 = 0.9 > b2 = 0.8 и начальных условиях x1(0) = x2(0) = 0.5. Можно заметить, что при таких начальных условиях субъекты успевают изучить все стратегии и выбирают ту, у которой объективная оценка наибольшая (b1).
Рис.9 Динамика удельных долей системы (4.8)
21
4.5.Замедление смены стратегии
Вбазовой модели предполагалось, что в течение промежутка времени (t, t + ∆t) субъект, использующий стратегию vj, независимо от предыстории и действий других субъектов попадает под действие механизма отбора поведения и оказывается вынужденным сменить
свою стратегию, замедлим этот процесс, считая, что смена стратегии по независящим от субъектов причинам происходит с вероятностью ωti ∆t + o(∆t), t > 1. Как и в предыдущем случае будем считать, что ωi = −ai(t) изменяется по закону (4.7). Тогда система будет
выглядеть следующим образом:
|
x˙i = |
a |
|
n |
a |
|
|
|
. |
(4.9) |
|||
|
ti xi − xi j=1 |
tj xj, i = 1, n, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a˙i(t) |
= |
xi(bi |
− |
|
|
|
≥ |
t0 = 1. |
|
|||
|
ai(t)), i = 1, n, t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае |
справедливо следующее утверждение: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Если динамика использования стратегий из множества M описывается системой (4.9), где b1 > maxbj, и найдется число ε такое, что ε (0, 1), и имеют место
неравенства: |a01 − a0j | < 1 − ε, |b1 − bj| < 1 − ε, |a01 − bj| < 1 − ε, |a0j − b1| < 1 − ε, то стратегия v1 является наилучшей среди остальных стратегий вне зависимости от начальных условий.
22
5. Прогноз динамики систем и программное обеспечение
5.1. Прогноз динамики социально-экономических систем
После исследования такого большого количества моделей встает вопрос о том, какую же из этих моделей использовать для прогноза динамики той или иной социальноэкономической системы. Пусть у нас имеется набор статистических данных, например, спрос на шесть моделей видеокарт за 2 года (2012-2013 гг.). Динамику спроса на три из них можно наблюдать на следующем графике:
Рис.10 Динамика спроса на 3 модели видеокарт
Как можно заметить, отбора в этой системе не наблюдается, так как ни одна компонента в конечный момент времени не равняется нулю. Значит целесообразно использовать одну из первых модификаций базовой модели (3.7). Поварьировав параметры 1-й и 2-й модификаций, по начальным условиям взятым из статистического набора данных (в начальный момент времени) были получены графики динамики удельных весов этих моделей, наложенные на графики построенные по набору статистических данных.
Рис.11 Прогноз по 1-й модификации |
Рис.12 Прогноз по 2-й модификации |
23
5.2.Схема работы программы и интерфейс
Вглаве выше наиболее точное приближение статистических данных строилось по 2-ум модификациям, и при этом параметры этих моделей просто перебирались. Это не очень
удобно, поэтому в программе этот процесс был автоматизирован. Параметры θ, ε и ω из
3
диапозонов [0, 1] ( θi = 1), [0, 1), и [0, 1] соответственно перебираются автоматически
i=1
программой. В качестве модели, описывающий динамику поведения используется 2-я модификация базовой модели (4.3), так как в этой системе может наблюдаться как ситуация близкая к отбору, так и ситуация с отсутствием отбора (то есть можно считать эту модель в каком—то смысле "универсальной"):
3 |
|
|
|
j |
|
|
|
x˙i = −ωixi − (εθi + (1 − ε)xi(t)) |
−ωjxj, i = 1, 3. |
||
=1 |
|
|
|
Пользователь задает ошибку (точность), время (на которое желается произвести прогноз), указывает количество переменных, затем строится среднеквадратичная аппроксимация. На каждом текущем наборе параметров решается система ДУ, и по векторным решениям ищется сумма разностей квадратов. Этот процесс выполняется в цикле до тех пор, пока эта сумма не станет меньше заданной пользователем точности. Статистические данные хранятся в базе данных созданной в MySQL, они могут накапливаться с течением времени, в зависимости от выбранного пользователем количества переменных строятся разные SQL—запросы (с БД считывается разное количество наборов статистических данных). Затем в эти данные считываются с БД программой, и по ним строятся графики. Результатом работы программы является вывод в одно графическое окно графиков, полученных по статистическим данным и по решению ДУ. На следующем рисунке можно видеть как выглядит интерфейс программного обеспечения при точности 0.01 и с временем прогноза равным 20:
Рис.13 Интерфейс программного обеспечения
24
Схема работы программы выглядит следующим образом:
Рис.14 Схема работы программы
В качестве критерия "близости" функций был выбран среднеквадратичный. Среднеквадратичные ошибки между функциями x1(t), x2(t) и т.д., полученными с помощью модели и функциями, построенными на основе статистических данных, суммируются и сравниваются с "ошибкой", заданной пользователем. Как только заданная "ошибка" стала больше этой суммы, происходит вывод на одно графическое и тех, и других графиков функций (если количество переменных = 3, то строится также фазовый портрет системы, с параметрами, использовавшимися на последней итерации). Далее пользователь может проанализировать полученные результаты.
25
6.Заключение
Врезультате моей работы было выполнено:
1.Исследование модификаций модели И.Г. Поспелова, обобщенной на непрерывный случай.
2.Была выбрана модификация базовой модели (3.7), так как она является более универсальной и наиболее подходит для описания динамики социально-экономической системы.
3.Написание программного обеспечения, с помощью которого по известному набору статистических данных можно подобрать параметры модели, при которых она согласуется с исходными данными, а также визуализировать полученные результаты.
26
7. Приложение
Пример отрисовки фазового портрета: for n = 0.1:0.2:1.0
InitialValues = [n;0.99-n;.01];
[t, v] = ode45(rightside, TimeInterval, InitialValues); x1 = v(:,1);
x2 = v(:,2);
x3 = v(:,3); plot3(handles.axes1,x1,x2,x3,’b’,’LineWidth’, 2); InitialValues = [.01;n;0.99-n];
[t, v] = ode45(rightside, TimeInterval, InitialValues); x1 = v(:,1);
x2 = v(:,2);
x3 = v(:,3); plot3(handles.axes1,x1,x2,x3,’b’,’LineWidth’, 2); InitialValues = [n;.01;0.99-n];
[t, v] = ode45(rightside, TimeInterval, InitialValues); x1 = v(:,1);
x2 = v(:,2);
x3 = v(:,3); plot3(handles.axes1,x1,x2,x3,’b’,’LineWidth’, 2);
Системы дифференциальных уравнений решаются с помощью метода ode45("правая часть системы", "временной интервал(массив)", "начальные условия").
Отрисовка симплекса: x = [1 0 0 1];
y = [0 1 0 0]; z = [0 0 1 0];
plot3(handles.axes1,x,z,y,’k’,’LineWidth’, 1.5);
27
Литература
[1]М.Ю. Андреев, И.Г. Поспелов. Принцип рациональных ожиданий: обзор концепций и примеры моделей, 80c, М.: ВЦ РАН, (2008).
[2]М.Ю. Андреев, И.Г. Поспелов, И.И. Поспелова, М.А. Хохлов Технология моделирования экономики и модель современной экономики России, 262c, М.: МИФИ, (2007).
[3]И.Г. Поспелов Модель отбора поведения в социально-экономических системах // Труды конференции «Моделирование социального поведения», М.: МГУ, Москва (2001).
[4]О.А. Кузенков, Е.А. Рябова Математическое моделирование процессов отбора:учебное пособие, 324c, Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, (2007).
[5]О.А. Кузенков, Е.А. Рябова Обобщение модели отбора поведения в социальноэкономических системах, Журнал СВМО, ННГУ им. Лобачевского, (2012)
28