Диплом Костин С.С

Критерий 4.1 Стратегия vi лучше стратегии vj , если выполняется отношение:

Следствие 4.1 Стратегия vi является наилучшей среди допустимых стратегий vj

(vi vj для всех j = 1, n, j ̸= i), если выполняются условия:

называется временным средним функции ξ(t).

Замечание 5.1 Если непрерывная функция ξ(t) имеет предел при t → ∞, то его

временное среднее значение совпадает со значением этого предела.

10

Для данной системы имеет место интегральный критерий строгого отбора.

Критерий 2. Для того, чтобы система (2.11) являлась системой строго отбора,

необходимо и достаточно, чтобы вдоль любой фазовой траектории системы (2.11), со-

n

ответствующей начальным условиям xi(t0) = x0, x0 ≥ 0, xi = 1, i = 1, n , удовлетво-

i=1

ряющим неравенствам: 0 < x0i < 1, были справедливы равенства:

для всех j = 1, n, i ̸= j.

11

3. Модель И.Г. Поспелова

3.1. Дискретная модель И.Г. Поспелова

Принимая решения, исполняющий данную роль субъект старается выбрать наилучшее с его точки зрения решение, то есть действует в своих интересах. Эти интересы не обязательно считать сугубо эгоистическими: субъект может искренне стремиться, например, к благу всего человечества. Важно другое, если роль производителя будут часто занимать субъекты, стремящиеся, скажем, провести, как можно больше социологических конференций, производство вряд ли будет работать. Мотивы и роли должны быть взаимно согласованы. Заметим, что в моделях экономики такое согласование обычно принимается, как самоочевидное: производитель максимизирует прибыль (или стремится выполнить план), потребитель максимизирует полезность своего потребления и т. п. Опишем на языке мотивации субъекта с помощью абстрактной модели результат действия ”частот неудач” каждой стратегии, то есть механизмов отбора, поддерживающих согласование ролей и интересов. Рассмотрим некую роль, которую можно исполнять одним из некоторого конечного множества способов (стратегий) M. Данную роль в экономике исполняют параллельно множество S субъектов. В типичном для экономике случае мощность множества

M составляет от десятков тысяч до миллионов субъектов. Субъекты используют разные стратегии. Обозначим через sk(t) число субъектов, использующих стратегию k в момент времени t. Распределение субъектов по стратегиям:

k M

нашей модели характеризует состояние рассматриваемой системы.

Предположим, что в течение малого промежутка времени ∆ субъект, использующий стратегию k, независимо от предыстории и действий других субъектов с вероятностью

ωk∆(t) + o(∆t) подпадает под действие упомянутых механизмом отбора поведения и оказывается вынужденным сменить свою стратегию. Набор постоянных ”частот неудач” ωk

характеризует в модели среду, в которой субъекты исполняют свою роль. Предполагается, что субъекты не осознают связь между стратегией и частотой неудачи или игнорируют ее. Например, модель допускает случай, когда субъект вовсе не хочет исполнять данную роль и не интересуется результатом своей деятельности. Будем считать, что субъект, изменяющий свою стратегию, выбирает новую i-ю с вероятностью pi(t):

pi(t) : i M, pi(t) ≥ 0, pi(t) = 1,

i M

возможно зависящей от состояния s¯(t) , но не зависящей от предыстории процесса.

12

Можно также, считать, что субъект, потерпевший неудачу, ”выбывает из игры”, и его место занимает новый, выбирающий свою стратегию с вероятностью pi(t). Таким образом, динамика системы описывается марковским процессом:

Рассмотрим простейший случай, когда pi(t) = θk = const. Такое предположение соответствует случаю, когда субъекты ничему не обучаются, а исполняют роль в соответствии с априорными представлениями о ней, выработанными, например, в процессе общей социализации индивидуума. В этом случае описанный марковский процесс приходит к стационарному состоянию, в котором при большом S численности s(t) будут практически равны своим средним значениям:

j M ωj

Это соотношение показывает, что при постоянных pk(t) выработки определенного поведения в системе не происходит. Численности соответствуют априорным вероятностям, ”перекошенным” в соответствии с частотами неудач. Рассмотренный случай модели, описывает процесс близкий к дарвиновскому естественному отбору, но без фактора наследственности - субъекты не размножаются, передавая свою стратегию потомкам.

Предположим, что при смене стратегии субъект руководствуется с вероятностью ε,

0 ≤ ε < 1 априорными представлениями θi, а с вероятностью 1 − ε - популярностью данной стратегии среди других субъектов:

Получающийся при этом предположении модель задает, так называемый, ”нелинейный ветвящийся процесс”. В данном случае удается доказать следующую теорему.

13

Теорема 1. Eсли S → ∞ , а ε → 0 так, что величина Nε4 отделена от 0, то независимо от начального состояния с течением времени почти все субъекты будут использовать стратегии из множества:

то есть стратегии с минимальной частотой неудачи. Именно, вероятность, того, что

Выше мы рассматривали субъектов, одинаковых в том смысле, что они имеют совпадающие априорные вероятности выбора стратегий. Теорема обобщается на случай, когда у разных субъектов величины θk различны. При утверждение теоремы неверно. В рассматриваемом процессе с конечными вероятностями возникают состояния, когда ни один субъект не использует некоторую стратегию. В случае ”чистого подражания” ε = 0 эти состояния будут поглощающими. Приведенная теорема позволяет сделать вывод, что подражание распространенным образцам приводит к выделению поведения, минимизирующего вероятность неудачи. Таким образом, для внешнего наблюдателя сочетание механизмов отбора и подражания будет выглядеть, как наличие у субъектов мотивации минимизировать вероятность неудачи в исполнении роли, независимо от личного отношения субъектов к роли и стратегии. То есть эта мотивация носит объективный характер, в том смысле, в каком говорил об объективных интересах К. Маркс.

Выше было сказано о подражании, как о специфически социальном механизме, не исключено, что аналогичный процесс идет и биосфере благодаря переносу генов. Теорема показывает, что характерное время выделения оптимального поведения составляет величину порядка Ω−1. Предположим, что частоты неудач ωk время от времени перестраиваются, причем так, что в каждый момент имеется единственная стратегия с минимальной частотой неудач, а обусловленность минимума Ω не меняется. Тогда наблюдаться будет не одна стратегия, а целый спектр, содержащий τΩ стратегий, где τ характерное время смены номера оптимальной стратегии. Этот означает, что рассмотренный процесс автоматически поддерживает соответствие между разнообразием среды и разнообразием поведения. Представляется, что так можно объяснить вспышки мутаций, возникающие в биоценозах в ответ на резкие изменения окружающей среды.

14

3.2. Обобщение модели И.Г. Поспелова на непрерывный случай

Обозначим xi = si/S, i = 1, n – удельные доли числа субъектов, осуществляющих выбор стратегии. Введем обозначение x(t) = (x1, x2, ..., xn). Тогда при сделанных предположениях динамика изменения числа субъектов, выбирающих ту или иную стратегию, представляет случайный процесс. Принятые гипотезы определяют динамику выбора состояний как случайный процесс. Введем в рассмотрение квадратную матрицу переходов размерности n на n. Каждый ее элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце имеет смысл вероятности перехода за время ∆t от i-го варианта поведения к j-му. Диагональный эле-

мент, стоящий на i-м месте, имеет смысл сохранения за время ∆t числа субъектов si.

Матрица переходов имеет вид:

Вектора x(t) и x(t + ∆t) связаны соотношением x(t + ∆t) = x(t)Π(t, ∆t), отсюда:

∆xi = xi(t + ∆t) − xi(t) = 1 − (xjpi(t)ωj∆t) + o(∆t)

j̸=i

Получим динамику изменения удельных долей числа субъектов, использующих стратегию vi, i M в момент времени t:

n

Сумма правых частей будет равна нулю, когда pi(t) = 1, следовательно при этом

i=1

условии данная система является системой на стандартном симплексе.

15

4. Исследование модификаций непрерывной модели

4.1.Модификация модели с постоянными значениями вероятностей

Как было сказано в главе 3.1, при pi(t) = θi = const субъекты ничему не обучаются, а исполняют роль в соответствии с априорными представлениями о ней. В этом случае

динамика приходит к состоянию, в котором при большом S численности sk(t) будут прак- pk

j M ωj

постоянных pk выработки определенного поведения в системе не происходит. Численности соответствуют априорным вероятностям θk, ”перекошенным” в соответствии с частотами неудач.

Исследуем систему:

аналитически в случае n = 3 при ω1 = 1, ω2 = 1, ω3 = 1, θ1 = 0.2, θ2 = 0.7, θ3 = 0.1. Имеем систему:

Так как система является системой на стандартном симплексе, с помощью замены x3 = 1 − x1 − x2 можно перейти к системе 2-ух уравнений. Решив её методом Гаусса было найдено состояние равновесия (особая точка) с координатами (0.2, 0.7, 0.1). Теперь

0−1 − λ

Полученные собственные числа матрицы Якоби λ1, λ2 < 0, значит делаем вывод: состояние равновесия является устойчивым узлом. На Рис. 1 можно видеть фазовый портрет системы в случае n = 3 при ω1 = 1, ω2 = 1, ω3 = 1, θ1 = 0.2, θ2 = 0.7, θ3 = 0.1, полученный с помощью программы, а на Рис. 2 динамику удельных долей x1, x2, x3.

16

Результаты, полученные аналитически, подтверждаются работой программы. Рассмотренный случай модели, описывает процесс близкий к дарвиновскому естественному отбору, но без фактора наследственности - субъекты не размножаются, передавая свою стратегию потомкам. Так же данную модель можно трактовать следующим образом. Пусть наша система - обычное производство, например деталей для автомобилей. Тогда в роли субъектов могут выступать обычные работники на производстве (рабочая сила), которые не очень то и хотят задумываться о чём-то, а просто выполняют свою работу (не меняют свою стратегию).

17

4.2. Модификация модели с подражанием

Можно указать другой социальный, механизм, заменяющий наследование, - подражание. Предположим, что при смене стратегии субъект руководствуется с вероятностью

ε, ε [0; 1) априорными представлениями θi, а с вероятностью 1 − ε - популярностью данной стратегии среди других субъектов:

pi(t) = εθi + (1 − ε)xi(t).

Система (3.7) в этом случае принимает вид:

Как показывает численный эксперимент (Рис.3, Рис.4), при малом фиксированном

ε = 0.3 и параметрах: n = 3, ω = (0.1, 0.3, 0.2), θ = (0.1, 0.1, 0.8) выбора определенного поведения субъектов не происходит, но стратегия с наименьшей ”частотой неудач” (ω1) становится заметно популярнее других:

18

4.3. Случай чистого подражания

Теперь допустим что ε = 0, тогда субъект при переходе на i-ю стратегию, руководствуется популярностью i-й стратегии среди других субъектов, то есть вероятность перехода на i-ю стратегию равна: pi(t) = xi(t). В данном случае система (3.7) принимает вид:

Если при любых начальных условиях выбор с течением времени субъекты выбирают один и тот же вариант поведения (не уменьшая общности можно считать его первым), то модель выбора по определению является системой отбора. Так как выполняется следующий интегральный критерий:

то она является системой строгого отбора. Таким образом, вне зависимости от начальных условий со временем удельная доля субъектов, использующих вариант, которому соответствует минимальная "частота неудач" ωi, стремится к единице. Аналитические результаты, подтверждаются работой программы при параметрах: n = 3, ω = (0.1, 0.3, 0.2), так как минимальная "частота неудач" у первой стратегии, соответственно отбирается стратегия v1:

Рис.5 Фазовый портрет системы

Рис.6 Динамика удельных долей xi

19