Алгебра. Перестановки
.pdf
§3. Перестановки и подстановки
М={1,2,…,n}.
Определение: перестановкой на n символах (множества M) называется последовательность (α 1 ,α 2 ,…,α n ) чисел 1, 2, …, n, расположенных в каком-либо порядке.
Можно рассматривать перестановки других символов, например, М={2, 4, 6, 8, 10} или
M={2,3,…, n+1}.
Пример. (2, 4, 5, 3, 7, 1, 6) перестановка на шести символах.
На 1-ом месте в перестановке может стоять любой из n символов, при этом на 2-ом месте может стоять любой из оставшихся (n-1) символов и так далее для n-го места останется один символ. Таким образом, общее количество перестановок на n символах равно n (n 1) 2 1 n!
Определение: преобразование, при котором перестановка (α 1 ,…,α i ,….,α j ,….,α n ) переходит в перестановку (α 1 ,…, α j ,….,α i ,…., α n ), называется транспозицией.
Теорема (о расположении перестановок в ряд)
Все n! перестановок на n символах можно расположить в ряд, так что каждая следующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией. Причем начинать ряд можно с любой перестановки.
Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по n. n=2
(1,2) (2,1) – ряд, начинающийся с перестановки (1,2) , (2,1) (1,2) – ряд, начинающийся с перестановки (2,1) Допустим, что утверждение теоремы верно для (n-1).
Пусть (α 1 ,α 2 ,…,α n ) произвольная перестановка на n символах. Тогда (α 1 ,…,α n 1 ) перестановка на (n-1) символах. По предположению индукции все (n-1)! перестановок на n- 1 символах α 1 ,…,α n 1 можно расположить в ряд так, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией:
( 1, |
, n 1) |
( 1, |
, n 1) . Тогда так как перестановок, у которых на |
последнем месте стоит α n всего (n-1)!, то в ряду
( 1, |
, n 1, n ) |
( 1, |
, n 1, n ) встречаются все перестановки, у которых на |
последнем месте стоит α n . Причем по построению каждая последующая получается из
предыдущей одной транспозицией. |
|
|
Очевидно, n 1 n . В последней перестановке |
( 1, |
, n 1, n ) сделаем |
транспозицию последних двух символов: ( 1, , n 1, n ) ( 1, , n , n 1) . Снова по предположению индукции, все (n-1)! перестановок на n-1 символах 1, , n 2 , n можно
расположить в ряд так, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией:
( 1, |
, n 2 , n ) |
( 1, |
, n 1) . Тогда все (n-1)! перестановок, у которых на |
|||
последнем месте стоит n 1 |
встречаются в ряду: |
|
||||
( 1, |
, n 2 , n , n 1) |
( 1, |
, n 1, n 1) . |
|
||
Выберем среди символов 1, |
, n 1 элемент i |
n (по определению перестановки |
||||
i n 1 ) и сделаем в перестановке |
( 1, |
, n 1, n 1) |
транспозицию символов i и n 1 . |
|||
Получим перестановку, у которой на последнем месте стоит i .
Продолжая и так далее (каждый раз будем выбирать элемент, который еще не встречался на последнем месте) получим ряд, состоящий из n блоков вида:
( |
, ) ( |
, ) |
( |
, ) . В каждом блоке будет по (n-1)! |
перестановок, каждая последующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией. От последней перестановки одного блока к первой перестановке другого блока мы по построению переходим одной транспозицией.
Таким образом, в ряду встретятся все n! перестановок, причем начинали с произвольной перестановки.
Пример: n 4 . Расположим в ряд все перестановки на четырех символах. Начнем, например, с перестановки (3, 1, 4, 2). Сначала расположим в ряд все перестановки символов
3, 1, 4:
2! |
2! |
2! |
(3,1, 4) (1,3, 4) (1, 4,3) (4,1,3) (4,3,1) (3, 4,1)
3,1 |
3,4 |
1,4 |
1,3 |
4,3 |
Тогда
3!
(3,1, 4, 2) (1,3, 4, 2) (1, 4,3, 2) (4,1,3, 2) (4,3,1, 2) (3, 4,1, 2)
1,2
расположение в ряд всех перестановок у которых на последнем месте стоит 2. Теперь совершим транспозицию последних двух символов 1 и 2, и продолжим ряд аналогично:
|
|
|
3! |
|
|
|
|
(3, 4, 2,1) (4,3, 2,1) (4, 2,3,1) |
(2, 4,3,1) (2,3, 4,1) (3, 2, 4,1) |
||||||
1,2 |
3,4 |
3,2 |
|
4,2 |
4,3 |
2,3 |
4,1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
(3, 2,1, 4) (2,3,1, 4) (2,1,3, 4) |
(1, 2,3, 4) (1,3, 2, 4) (3,1, 2, 4) |
||||||
1,4 |
3,2 |
3,1 |
|
2,1 |
2,3 |
1,3 |
3,4 |
|
|
|
|
||||
сделаем транспозицию двух символов 3 и 4 (выбираем тот символ, который еще не |
|||||||
был на последнем месте) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
(4,1, 2,3) (1, 4, 2,3) (1, 2, 4,3) |
(2,1, 4,3) (2, 4,1,3) (4, 2,1,3) . |
|
|||||
3,4 |
4,1 |
4,2 |
|
1,2 |
1,4 |
2,4 |
|
|
|
|
|
||||
Все 24=4! перестановки расположили в ряд, причем каждый раз совершалась только одну транспозиция.
Следствие.
От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке конечным
числом транспозиций. |
|
( Пусть надо перейти от перестановки (α1 ,α 2 ,…,α n ) к перестановке ( 1, 2 , |
, n ) . |
Согласно теореме 1.5, расположим перестановки в ряд, начиная с перестановки (α1 ,α 2 ,…,α
n ). В этом ряду встречаются все перестановки, в частности, ( 1, 2 , |
, n ) . ) |
|
||||
|
|
Четность и нечетность. |
|
|
|
|
Пусть α =(α 1 ,α 2 ,…,α n ) |
- перестановка на n символах. |
|
|
|
|
|
Говорят, что i и j |
образуют порядок в α, если α i |
< |
α j |
и i<j |
(т.е. число i |
|
меньше числа j |
и встречается в перестановке раньше, чем j ). |
|
|
|
||
Говорят, |
что i и j |
образуют инверсию в α, если α i |
< |
α j |
и i>j |
(т.е. число i |
меньше числа j |
и встречается в перестановке позже, чем j ). |
|
|
|
|
|
Пример.
(5,3,1, 4, 2) . В перестановке числа 5 и 1 образуют инверсию, числа 1 и 4 образуют порядок.
Определение. Перестановка называется четной, если она имеет четное число инверсий, и называется нечетной, если она имеет нечетное число инверсий.
Пример. В перестановке (5,3,1, 4, 2) инверсии образуют 5 и 3, 5 и 1, 5 и 4, 5 и 2, 3 и 1, 3 и 2, 4 и 2. Всего 7 инверсий, следовательно, нечетная перестановка.
Замечание. Перестановка (1, 2,3, , n) является четной для любого n (она имеет 0 инверсий).
Теорема (о перемене четности при транспозиции)
Любая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство.
Допустим, что в перестановке мы совершили транспозицию символов i и j .
Рассмотрим два случая: 1) |
i и |
j - |
соседние символы; 2) между |
i |
и j стоят какие-то |
|||||||||||||
символы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-ый случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( , |
, |
k 1 |
,i, j, |
k 2 |
, |
, |
n |
) ( , |
, |
k 1 |
, j, i, |
k 2 |
, |
, |
n |
) . |
||
1 |
|
|
|
|
i, j |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Если i |
или |
|
j образовывали порядок с s |
( s k, k 1) в перестановке , то они |
||||||||||||||
образуют порядок с |
s и в перестановке . Точно так же и с инверсиями. Следовательно, |
|||||||||||||||||
количество инверсий, которые образует i или j с s |
( s k, k 1), |
при переходе от к β |
||||||||||||||||
не меняется .
Если i и j образуют порядок в α, то в β они образуют инверсию, и наоборот. Таким образом, при переходе от α к β количество инверсий меняется на 1 (уменьшается на 1 или увеличивается на 1). Следовательно, при транспозиции соседних символов меняется четность перестановки.
2-ой случай.
( |
,i, s , s , |
, s |
, s , j, |
) ( |
, j, s , s , |
, s |
, s , |
||||||
|
1 2 |
r 1 |
r |
i, j |
|
|
|
1 2 |
|
r 1 |
|
r |
|
перестановку другим способом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Совершим цепочку транспозиций соседних символов: |
|
|
|
|
|||||||||
( |
, i, s , s , |
, s |
, s , j, |
) ( |
, s ,i, s |
, |
, s |
r 1 |
, s |
, j, |
) |
||
|
1 2 |
r 1 |
r |
i,s1 |
1 |
2 |
|
|
r |
|
|
|
|
i, ) . Получим
i,s2
( , s , s , |
, s |
, i, s |
, j, |
) ( |
, s , s |
, |
, s |
, s ,i, j, ) |
|||||||
i,sr 1 |
|
|
1 2 |
|
r 1 |
|
r |
|
i,sr |
1 2 |
|
|
r 1 |
r |
i, j |
( |
, s , s , |
, s |
|
, s , j,i, |
) ( , s , s , , s |
r 1 |
, j, s ,i, |
) |
|||||||
i, j |
|
1 2 |
r 1 |
r |
|
|
|
sr , j |
1 2 |
|
|
r |
sr 1, j |
||
( |
, j, s , s , |
|
, s |
|
, s |
,i, |
) . |
|
|
|
|
|
|
||
s1, j |
|
|
1 2 |
|
r 1 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершили |
r 1 r 2r 1 |
транспозиций соседних символов (сначала r |
|||||||||||||
транспозиций i |
с s1, |
, sr , затем транспозиция i и |
j , затем r транспозиций j с s1, , sr ). |
||||||||||||
Т.е. совершили нечетное количество транспозиций соседних символов. По случаю 1 получаем, что четность поменялась нечетное количество раз, т.е. и имеют
противоположную четность.
Следствие.
При n≥2 количество четных перестановок на n символах равно количеству нечетных и равно n2! .
(расположим все перестановки в ряд, начиная с (1, 2,3, , n) , так, что каждая последующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией. Так как n≥2 , то n! четное число и в ряду будет четное число перестановок. Начинается ряд с четной перестановки (1, 2,3, , n) . По теореме о перемене четности следующая перестановка в ряду
будет нечетной, потом снова четная и так далее. Получим, что четных и нечетных перестановок одинаковое количество).