Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра. Подстановки

.pdf

Скачиваний:

141

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

383.51 Кб

Скачать

☆

Подстановки.

М={1,2…,n}.

Задать отображение из M в M означает указать некоторое правило по которому каждому элементу из M ставится в соответствие некоторый элемент из M. Отображения обозначают обычно латинскими или греческими буквами: f, g, h, , и т.п. и записывают

f: M→М (читается: отображение f из M в M).

Например, M={1, 2, 3, 4}. Зададим отображение f: M→М по правилу: единице поставим в соответствие два, двойке – тройку, трем – единицу, четырем –двойку. Это

записывают следующим образом: f (1) 2,						f (2) 3,	f (3) 1,	f (4) 2 . Элемент
	f (i) M	называется образом элемента i M .
	Отображение f: M→М называется инъективным, если из условия f (x)=f(y) следует,
что x=y.
	Примеры.
Пусть M={1, 2, 3, 4}, f1 : M M ,
	f1 (1) 2,	f1(2) 3,	f1(3) 4,	f1(4) 1.
	f1 является инъективным отображением.
	f2 : M M ,
	f2 (1) 2,	f2 (2) 3,	f2 (3) 4,		f2 (4) 2 .

f2 не является инъективным отображением.

Отображение f: M→M называется сюръективным, если для любого y из М, существует х из М, такой что f (х)=у.

Отображение f называется взаимно однозначным, если f сюръективно и инъективно.

Определение: взаимно однозначное отображение α из множества {1, 2,…, n} в множество {1, 2,…, n} называется подстановкой n-ой степени.

Пусть α:{1,2,...,n}→{1,2,…,n} некоторая подстановка n-ой степени. Образ элемента i {1, 2,..., n} будем обозначать i , т.е. α (i)= i .

Подстановку n-ой степени удобно записывать в виде таблицы: в верхней строке элементы 1 2 ... n , записанные в любом порядке, а в нижней строке их образы при

отображении , образ i		элемента i		записывается строго под i . Как правило, элементы
1 2 ... n в верхней строке записываются в естественном порядке.
i1	i2	in	1	2	n

	i2		1	2	n
i1	i2	in	1	2	n
Пример:
Пусть :{1, 2,3, 4} {1, 2,3, 4} ,				(1) 2, (2) 4, (3) 1, (4) 3 . Как видим,

является взаимно		однозначным		отображением, следовательно, - подстановка 4–ой
степени. Ее можно записать в виде таблицы
1 2		3 4		3 4	2 1	. Т.е. столбцы в данной записи подстановки
			или
2	4 1 3			1 3	4 2

можно переставлять.

Обозначим через Sn множество всех подстановок n-ой степени.

1	2	n	различные подстановки
При записи подстановки в виде			различные подстановки
1	2	n

отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число подстановок n-й степени равно числу перестановок из n символов, т. е. равно n!

Следовательно,

| Sn | = n!

В множестве Sn выделяется тождественное отображение id, т.е. подстановка вида

1	2	n	– тождественная подстановка.
id			– тождественная подстановка.
1	2	n

Определение. Подстановка называется четной, если перестановки, стоящие в ее верхней и нижней строке имеют одинаковую четность и нечетной в противном случае. Т.е.

, i ) и (

четная, если (i ,

i ,

) обе четные

или обе нечетные.

Пусть i1 i1

i2	in	. Перейдем от данной записи подстановки к записи
i2
i2	in

1	2	n		Сделаем	это	следующим образом:	от перестановки
			.	Сделаем	это	следующим образом:	от перестановки
1	2	n
(i1, i2 ,		, in )	к	перестановке	(1,	2, ..., n) можно перейти	конечным числом

транспозиций. Будем совершать данные транспозиции в верхней строке подстановки , но менять местами не только сами элементы, но столбцы подстановки, соответствующие этим элементам. Тем самым, за одинаковое количество транспозиций перестановка

(i1,

i2 ,

in )

перейдет в (1, 2, ..., n), а перестановка ( i ,

, i ) перейдет в

( 1,

2 ,

n ) .

При транспозиции меняется четность перестановки. Поэтому при

переходе от записи

к записи

1 2

описанным выше

способом четность нижней и верхней строки поменяется одинаковое количество раз. Если при первом варианте записи верхняя и нижняя строка имели одинаковую (соотв., противоположную) четность, то и при втором варианте записи они имеют одинаковую (соотв., противоположную) четность. Тем самым определение четности не зависит от варианта записи подстановки и определение четности можно переформулировать так:

1	2	n				( 1,	2 ,	, n )
Подстановка		называется четной, если				( 1,	2 ,	, n )
1	2	n
четная перестановка, и называется нечетной, если				( 1,	2 ,	,	n )	нечетная
перестановка.
Для любой подстановки Sn		определим знак		подстановки по следующему
1, если четная подстановка
правилу:			.
1, если нечетная подстановка

Умножение подстановок.

Пусть α и β подстановки из Sn

Определение. Произведением подстановки α на β называется отображение из {1, 2,…, n} в {1, 2,…, n}, которое обозначается и определяется правилом:

(i) ( (i)) , для любого i {1, 2,..., n}. (То есть является композицией отображений и ).

1 2 3 4		,	1 2 3		4
Пример. Пусть	2 4 1 3			4 1 2	3	.

(1) ( (1)) (4) 3,

Тогда (2) ( (2)) (1) 2,(3) ( (3)) (2) 4,

(4) ( (4)) (3) 1

	1 2 3		4	1	2 3 4	1	2 3 4
Т.е.



		2 4 1	3	4	1 2 3	3		2 4 1 .

Начинаем с второй подстановки, смотрим куда переходит в ней символ i , например, в j . Тогда смотрим, куда переходит символ j в первой подстановке, например, в k .

Получаем, что в произведении символ i переходит в k . Выполняем это для всех 1 i n . Произведение определено только для подстановок одинаковой степени. Умножение

подстановок n-й степени при n ≥3 некоммутативно ( ).

1		2	3 1		2	3	1	2	3	,	1		2	3 1		2
Пример.										,
	3	1	2	2	1	3	1	3	2			2	1	3	3	1

Видим, что результаты не совпадают.

Хотя для некоторых пар подстановок закон коммутативности

3	1		2	3
2		3	2	1	.

может выполняться.

Проверим, что является подстановкой, т.е. взаимно однозначным отображением

1)(αβ)(i) = (αβ)(j)

↓↓

α(β(i)) =	α(β(j)) .
Откуда, так как	α взаимно однозначное, следует, что β(i)=β(j). Так как взаимно
однозначное, то i=j. Получаем, что αβинъективно.
2) Для любого k {1…n} существует t такое, что		(t)=k (так как α взаимно
однозначно), так как β	взаимно однозначно, то для найденного t существует i такое, что

β(i)=t. Тогда (αβ)(i)=α(β(i))=α(t)=k. Получаем, что для любого k {1…n} существует такое i, что (αβ)(i)=k. Следовательно, сюръективно.

Таким образом, αβ принадлежит Sn.

Мы любой паре подстановок ( , ) поставили в соответствие подстановку .

Свойства произведения:

1) Умножение подстановок ассоциативно: для любых , , Sn выполняется

( ) ( ) .

Доказательство.

Произведение подстановок это отображение из {1, 2,…, n} в {1, 2,…, n}, т.е. ( ) и ( ) это отображения. Два отображения по определению совпадают только в том случае, если совпадают их образы для любого элемента из {1, 2,…, n}.

Пусть

произвольный

элемент

из

{1,

2,…,

n}.

Тогда

( ) (i) ( (i)) ( ( (i))) и

( ) (i) ( (i)) ( ( (i))) . Видим,

что результаты применения к любому

элементу i отображений ( ) и ( )

совпадают.

Следовательно,

( ) ( ) .

Произведение любой подстановки

на тождественную подстановку id, а

также произведение id

на , равно :

id id для любой Sn .

Доказательство.

( id)(i) (id(i)) (i) для любого

i {1, 2,…,

n}. Следовательно, id .

Аналогично, id .

Назовем обратной для подстановки такую подстановку -1, что

1 1 id

Легко видеть, что обратной для подстановки

служит

получающаяся из

переменой

подстановка 1 1

n ,

местами верхней и нижней строк. ( ( 1 )(i) 1 ( (i)) 1 ( i ) i id(i) )

Для

любой подстановки

существует

1 S

такая,

что

1 1 id .

Выполнение свойств 1)-3) означает, что

является

группой

относительно

произведения подстановок.

называется группой постановок n-ой степени или симметрической группой n-

ой степени.

Рассмотрим теперь подстановки специального вида, получающиеся из тождественной подстановки id при помощи одной транспозиции, производимой в ее нижней строке. Такие подстановки нечетны (нижняя строка имеет одну инверсию и, следовательно, нечетна, верхняя всегда четна), они называются транспозициями и имеют

вид:
	... i... j...
		(*)
	... j...i...

где многоточиями заменены символы, остающиеся на месте. Условимся обозначать эту подстановку символом (i,j).

... i... j...

(i, j)

... j...i...

Выполнение транспозиции символов i, j в нижней строке произвольной подстановки

1	2	n	равносильно умножению подстановки слева на подстановку
			равносильно умножению подстановки слева на подстановку
1	2	n

...

i... j...

, т. е. на (i, j). j... i...

Покажем это:

(ik , jk )

(i1, j1)id

(i, j)

i 1 i

i 1

j 1 j

j 1

n 1

i 1 j

i 1

j 1 i

j 1

(в нижней строке подстановки должны встретиться все символы, в частности, i и j, в них переходят какие-то символы, их обозначили k и m).

Теорема. Всякая подстановка представима в виде произведения транспозиций.

Доказательство.

Все перестановки из n символов можно получить из одной из них, например, из (1,2…n), последовательным выполнением транспозиций. Поэтому всякая подстановка может быть получена из тождественной подстановки id путем последовательного выполнения нескольких транспозиций в нижней строке, т. е. путем последовательного умножения id слева на подстановки вида (*). Получим равенство вида: (ik , jk )

. Откуда по свойству 2) произведения получаем (ik , jk ) (i1, j1) .

1		2	3	4	5
Пример. Пусть	3	1	2	5	4	. Напишем последовательность транспозиций

перестановок, переводящих (1, 2,3, 4,5)		в нижнюю строку (3,1, 2,5, 4) :
(1, 2,3, 4,5) (3, 2,1, 4,5) (3,1, 2, 4,5) (3,1, 2, 5, 4) . Тогда
1,3	2,1	4,5

	1		2	3	4	5
(4,5)(2,1)(1,3)		3	1	2	5	4
именно в таком порядке

Всякую подстановку можно многими разными способами разложить в произведение транспозиций. Всегда можно, например, добавить два одинаковых множителя вида (i,j) (i,j), которые дают в произведении подстановку id, т. е. взаимно уничтожаются.

При всех разложениях подстановки в произведение транспозиций четность числа этих транспозиций будет одна и та же, причем она совпадает с четностью самой подстановки (т.е. если (i1, j1 ) - произведение некоторых k

транспозиций, то знак подстановки ( 1)k ).

Доказательство. Это утверждение будет доказано, если мы покажем, что произведение любых k транспозиций есть подстановка, четность которой совпадает с четностью числа k. (индукцией по k).

При k=1 это верно, так как транспозиция есть нечетная подстановка. Пусть наше утверждение уже доказано для случая k-1 множителей. Тогда его справедливость для k множителей вытекает из того, что числа k-1 и k имеют противоположные четности, а умножение подстановки (в данном случае - произведения последних k-1 множителей) на транспозицию слева равносильно выполнению этой транспозиции в нижней строке подстановки, т. е. меняет ее четность.

Следствие 1. Произведение k транспозиций является четной подстановкой, если k четное число и нечетной подстановкой, если k нечетное.

Следствие 2. Для любых , Sn выполняется . Доказательство.

Пусть

(i , j )

, j ) ,

(s , m )

(s , m ) , тогда

( 1)k

( 1)r

1 1

r r

(i1, j1 )

(ik , jk ) (s1, m1 )

(sr , mr ) произведение k+r транспозиций.

Следовательно,	( 1)k r ( 1)k	( 1)r			.

	Разложение в независимые циклы.
		1		2	3	4	5	6	7	8	9	10
Пример. Рассмотрим подстановку			7	6	1	3	5	2	4	8	10	9	. В
			7	6	1	3	5	2	4	8	10	9

подстановке символы 5 и 8 переходят сами в себя. Все остальные символы называются действительно перемещаемыми. Рассмотрим следующие подстановки

	1	2		3	4	5	6		7	8	9	10
														,
	7	2		1	3	5	6		4	8	9	10
	7	2		1	3	5	6		4	8	9	10
1		2	3	4	5	6		7	8	9	10
												,
		6	3	4	5	2		7	8	9	10
1		6	3	4	5	2		7	8	9	10
1		2	3	4	5	6	7		8	9	10
													. Перемножим данные подстановки
		2	3	4	5	6	7		8	10	9
1		2	3	4	5	6	7		8	10	9

1		2	3	4	5	6	7	8	9	10	.		, , при
	7	6	1	3	5	2	4	8	10	9		Причем произведение

любом порядке		сомножителей					будет		давать		.	Подстановки , ,	называются

независимыми циклами (они не имеют общих действительно перемещаемых символов), а представление называется разложением в произведение независимых циклов.

1	2	n
Пусть		.
1	2	n
Определение. Символ i		называется действительно перемещаемым в , если i i
.
Определение.	Подстановка		вида	i1	i2	ik 1	ik	ik 1	in	называется
Определение.	Подстановка		вида							называется
				i2	i3	ik	i1	ik 1	in
циклом длины k и обозначается (i1			i2	ik ) . Наложим ограничение: k 2 и циклы длины

1не будем рассматривать.

Впредыдущем примере (1,7, 4,3), (2,6), (9,10) .

	Отметим,	что	при	таком	обозначении		выполняется
(i1 i2	ik ) (i2 i3	ik	i1) (i3	ik i1 i2 )	(ik i1 i2	ik 1)	(здесь только

циклические перестановки)

Циклы называются независимыми, если они не имеют общих действительно перемещаемых символов.

Замечания.

1) При умножении циклов в приведенных обозначениях не обязательно записывать

i1	i2	ik 1	ik		ik 1			in	. Рассмотрим пример
их в виде									. Рассмотрим пример
i2	i3	ik	i1		ik 1			in
Допустим, что надо умножить цикл (1,3,5, 2) на цикл (2,5, 4,3, 6) :
			1		2	3	4	5	6
(1,3,5, 2)(2,5, 4,3, 6)				3	2	6	5	4	1	. Мы смотрим: куда переходит 1 во втором
				3	2	6	5	4	1

цикле: в 1, в первом цикле 1 переходит в 3, следовательно, в произведении под 1 пишем 3 и так далее.

i )k

i ) (i

i )

ik 1

id ,

ik 1

т.е. k-ая степень цикла длины k равна тождественной подстановке.

3) Так как (i	i	i	)(i	i	i ) id , то	(i	i	i	) 1 (i	i	i ) (т.е.
1	2	k	k	k 1	1	1	2	k	k	k 1	1

обратным для цикла служит цикл, записанный в обратном порядке).

4) При умножении независимых циклов порядок не важен.
Пусть (i1	i2	ik )	и ( j1 j2		jm ) независимые циклы, т.е. i1,i2 ,
различны. Тогда
				j	j	j	i	i	i
(i1 i2	ik )( j1	j2	jm )	1	2	m	1	2	k
				j2	j3	j1	i2	i3	i1

) обозначены те элементы, которые переходят сами в себя.

				i		i	i	j	j	j
( j1	j2	jm )(i1	i2	ik )	1	2	k	1	2	m
				i2		i3	i1	j2	j3	j1
столбцы		в	записи		подстановки				можно	менять
(i1	i2	ik )( j1	j2	jm ) ( j1		j2	jm )(i1		i2	ik ) .

,ik , j1, j2, , jm все

, где точками (

. Так как

местами, то

Теорема (о разложении в циклы) Любую подстановку Sn можно разложить

в произведение независимых циклов. Причем это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей. (без доказательства)

Пусть (a11, , ak 1)	(a1r , , ak r ) , где k1 1,	, kr 1 - разложение
1	r

подстановки в произведение независимых циклов. Назовем декрементом подстановки число d k1 kr r (сумма длин циклов минус количество циклов).

Теорема (о декременте) Подстановка Sn является четной тогда и только тогда, когда ее декремент четное число, т.е. ( 1)d .

Доказательство.
Рассмотрим произвольный цикл длины k :
(i1	i2			ik ) .			Прямой					проверкой				убеждаемся,		что
(i1 i2	ik ) (i1, ik )(i1, ik 1)							(i1, i3)(i1, i2) - произведение k -1 транспозиций.
Пусть			(a11,			, ak 1)			(a1r ,		, ak r ) ,		где		k1 1,	, kr 1	- разложение
							1				r
подстановки				в произведение					независимых				циклов. Тогда			(a11,	, ak 1) является
																	1
произведением			k1 1		транспозиций, …,						(a1r ,		, akr r )		является произведением			kr 1
транспозиций.				Следовательно,						является			произведением			( k1 1)+…+( kr 1 )= d
транспозиций. По следствию 1									( 1)d .

Пример.
	1		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
		7	5	1	3	2	10	4	9	12	8	11	6	(1,7, 4,3)(2,5)(6,10,8,9,12) .
		7	5	1	3	2	10	4	9	12	8	11	6

r 3, k1 4, k2 2, k3 5 ,

( 1)4253 ( 1)8 1.

Таким образом, - четная подстановка.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016288.31 Кб13Алгебра. арифметическое пространство.pdf
#
11.03.2016708.26 Кб25Алгебра. Лекция. 2015.10.01. Миноры.pdf
#
11.03.2016259.81 Кб27Алгебра. Метод Гаусса.pdf
#
11.03.2016290.6 Кб17Алгебра. Определители 2 и 3.pdf
#
11.03.2016309.01 Кб70Алгебра. Перестановки.pdf
#
11.03.2016383.51 Кб141Алгебра. Подстановки.pdf
#
11.03.2016280.2 Кб16Алгебра. ранг 1часть.pdf
#
10.11.20181.29 Mб12алгебра_множеств.DOC
#
10.11.2019608.77 Кб3АЛГОРИТМЫ_И_РЕШЕНИЕ_ЗАДАЧ_ПО_ТВ (2).doc
#
23.09.20191.05 Mб9Алексеев Комбинаторика.doc
#
27.03.2015983.59 Кб133Алексеев-Дискретная математика-1.pdf