Алгебра. арифметическое пространство

§9. Арифметическое n-мерное пространство.

Рассмотрим множество, состоящее из всех строк длины n.

Rn = {(a1,a2, … an) : a1 R, a2 R … an R}.

Два элемента (a1,a2, … an) и (b1,b2, … bn) из Rn совпадают тогда и только тогда, когда

a1= b1, …,an=bn. R1 = R

R2={(a, b): a R, b R}

Введем на Rn две операции:

1.(a1, a2, … an) + (b1,b2, … bn) = (a1+b1, a2+b2, … an+bn) – сложение;

2.R (a1, a2, … an) = ( a1, a2, … an) – умножение на число из R.

Нетрудно видеть, что выполняются следующие свойства: Для любых u , v , w из Rn, любых , из R:

1.u + v = v + u (коммутативность сложения);

2.u +( v + w )=( u + v )+ w (ассоциативность сложения);

3.u + 0 = 0 + u = u (существование нуля);

4.u +(– u )=(– u )+ u = 0 (существование противоположного элемента);

5.( u )=( ) u (ассоциативность умножения на скаляры);

6.( + ) u = u + u (дистрибутивность сложения скаляров относительно умножения);

7.( u + v )= u + v (дистрибутивность сложения векторов относительно умножения);

8.1 u = u .

Определение: Подмножество V Rn называется подпространством, если

1.1, 2 V 1+ 2 V

2.R v V v V

Т.е. для любых двух векторов из V их сумма должна попадать в V и любой вектор из V, умноженный на любое действительное число, должен лежать в V.

Например: в R2 подпространствами являются все прямые, проходящие через начало

координат, R2 и подпространство V={ 0 }= 0 (нулевое подпространство, т.е. содержащее только нулевой вектор).

V={ 0 } всегда является подпространством.

b

a

Изображенная на рисунке окружность не является подпространством.

Пусть V произвольное подпространство в R2. Если V 0 , то существует 1 V,

1 0 , тогда

либо все векторы из V пропорциональны вектору 1, и, следовательно, V = P - прямая, проходящая через начало координат и вектор 1;

либо существует 2 такой, что 1 и 2 непропорциональны. По определению подпространства все векторы вида 1+ 2, где , - вещественные числа, содержатся в V. Но в таком виде мы можем записать любой вектор из R2. Действительно:

Для любого (a,b) R2 существуют , такие, что (a,b) = (a1,b1) + (a2,b2).

имеет единственное решение.) Следовательно, V=R2.

Определение.

Пусть 1, 2, … k векторы Rn, 1, 2, …, k R.

Вектор 1 1 + 2 2 + … + k k называется линейной комбинацией векторов 1, 2,k с коэффициентами 1, 2, …, k

Например:

1 = (1 -1,2) 1=1, 2=-2, 3=32 = (2, 0, 1)

3 = (3,-1,1)

1 1- 2 2 + 3 3 = (6,-4,3) – линейная комбинация 1, 2, 3.

Рассмотрим множество < 1, 2, … k >, состоящее из всевозможных линейных

+ =( 1+ 1) 1+…+( k+ k) k является линейной комбинацией 1, …, k и,

следовательно, содержится в < 1, …, k>.

R, = ( 1 1+…+ k k)= 1 1+…+ k k - является линейной комбинацией 1, …, k и, следовательно, содержится в < 1, …, k>.

Таким образом, < 1, …, k> - подпространство.

Примеры.1) линейной оболочкой любого ненулевого вектора из R2 является прямая, проходящая через начало координат и содержащая данный вектор.

2) Пусть u (1,0,1) , v (1,0,0) .

Тогда u,v { u v | , R} {( ,0, ) | , R}. Очевидно, что данное множество совпадает с множеством всех векторов вида (a,0,b) , где a,b R .

Пусть { 1, 2, … k } система векторов (т.е. некоторое множество векторов). Всегда выполняется следующее равенство:

Она всегда равна нулевому вектору.

Для любой системы векторов могут реализоваться только две возможности:

либо существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору

1 1 + 2 2 + … + k k = 0 , где не все i =0 (линейная зависимость)

либо не существует нетривиальной линейной комбинации = 0 (линейная независимость)

Определение: Векторы 1, 2, … k называются линейно независимыми, если из равенства 1 1 + 2 2 + … + k k = 0

следует, что 1 = 2 = … = k = 0 (только тривиальная линейная комбинация равна

0 )

Векторы 1, 2, … k называются линейно зависимыми, если существуют не все равные 0 числа 1, 2, … k такие, что 1 1 + 2 2 + …+ k k = 0 .

Свойства линейной зависимости.

Свойство 1. Любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой.

Доказательство.

независимая, значит 0 и линейно выражается через 1, 2, … k.

Свойство 5. Если { 1, 2, … k } линейно независима и не является линейной комбинацией 1, 2, … k , то { 1, 2, … k , } линейно независима (док-во от противного из св-ва 4).

Свойство 6. Система, состоящая из нулевого вектора линейно зависима, а система состоящая из одного вектора , где 0 линейно независима.