Алгебра. Метод Гаусса

§1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть К – поле (например, поле рациональных, вещественных или комплексных чисел).

Уравнение вида

a1x1 ... an xn b , где a1, , an , b - элементы из поля К, называется линейным уравнением. Пусть дана система линейных уравнений

Набор чисел 1,..., n (из поля К) называется решением системы (1), если, при

подстановке этих чисел вместо неизвестных в уравнения системы, мы получим верные равенства.

Две системы называются эквивалентными, если либо они обе несовместны, либо любое решение первой системы является решением второй системы и наоборот. Обозначение (1) (2) .

Свойства.

1) Рефлексивность: (1) (1) .

2) Симметричность: если (1) (2) , то (2) (1) .

3) Транзитивность: если (1) (2) и (2) (3) , то (1) (3) .

Следующие преобразования систем называются элементарными преобразованиями:

1)прибавление к i-му уравнению j-го, умноженного на число;

2)умножение уравнения на число, отличное от нуля;

3)перестановка уравнений местами.

Отметим, что все элементарные преобразования обратимы. Например, если система (2) получена из системы (1) прибавлением к i-му уравнению j-го, умноженного на число , то система (1) получится из системы (2), если к i-му уравнению прибавить j-ое, умноженное на число ( ).

ТЕОРЕМА 1.3. (об элементарных преобразованиях)

После выполнения в системе конечного числа элементарных преобразований получается система, эквивалентная исходной системе.

Доказательство:

Используя свойства эквивалентности, утверждение теоремы достаточно доказать для одного преобразования.

Пусть система (2) получена из системы (1) применением некоторого элементарного преобразования.

А) Допустим, что система (1) совместна.

Докажем, что при элементарном преобразовании 1 –ого типа получается эквивалентная система.

После преобразования мы получили систему:

Тогда, складывая i -ое и j -ое тождество, получим, что верно также тождество ai1 1 ... ain n aj1 1 ... ajn n bi bj

ai1 aj1 1 ... ain ajn n bi bj 1,..., n является решением системы(2).

Б) Допустим, что система (1) несовместна.

Так как система (1) получается из (2) обратными преобразованиями, то из совместности системы (2) согласно А) следует совместность системы (1). Следовательно, (2) несовместна.

К матрицам системы применимы те же элементарные преобразования:

1)прибавление к одной строке другой, умноженной на число;

2)умножение строки на число, отличное от нуля.

Между элементарными преобразованиями системы и ее матрицы очевидно есть взаимно однозначное соответствие.

ТЕОРЕМА 2.3. (о приведении к ступенчатому виду)

Любую систему элементарными преобразованиями можно привести к ступенчатому виду:

Где

c11 0, c2 j2 0, ....., crjr 0 и 1 j1 ..... jr n .

Доказательство:

1) Если все элементы a11, a21, , am1 (коэффициенты при неизвестной x1 ) равны нулю, то неизвестную x1 можно было бы не рассматривать и имели бы систему от переменных x2 , , xn . Поэтому, считаем, что среди элементов a11, a21, , am1 есть ненулевой, например, ai1 0 . Далее, применяя преобразование 3-его типа (меняя местами первую и

i -ую строки), считаем, что именно a11 0 .

2)Выполним следующие преобразования:

ко 2-ой строке системы прибавим 1-ую, умноженную на ( a21 ) ;

a11

к 3-ей строке прибавим 1-ую, умноженную на ( a31 ) ;

a11

и так далее

ко m -ой строке прибавим 1-ую, умноженную на ( am1 ) .

a11

Получим, что система элементарными преобразованиями приводится к виду:

переменных, которая встречается во втором и последующих уравнениях. Переставляя строки местами, считаем, что она встречается во втором уравнении, т.е. a '2, j2 0 .

3) к 3-ей строке системы прибавим 2-ую, умноженную на ( a '3, j2 ) ;

a '2, j2

ТЕОРЕМА 3.3. Система совместна тогда и только тогда, когда после приведения ее к ступенчатому виду в ней нет уравнений вида 0 bk , где bk 0 .

Доказательство.

Необходимость.

Допустим, что система (1) совместна. Тогда, эквивалентная ей система (2) также

слагаемые с главными неизвестными в левой части, все остальное перенесем в правую часть.

неизвестные), то система неопределенна, если r n , то система определенна. Получаем

Следствие 1. Совместная система (1) является неопределенной тогда и только тогда, когда после приведения ее к ступенчатому виду (2) выполняется r n .

Так как r m , то в системе с количеством уравнений строго меньшим количества неизвестных обязательно будут свободные неизвестные и верно

Следствие 2. Совместная система с количеством уравнений строго меньшим количества неизвестных является неопределенной.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Тогда, очевидно, что 0;...;0 является ее решением.

Следствие 3. Если в однородной системе количество уравнений строго меньше количества неизвестных, то система имеет ненулевое решение.

Доказательство:

Так как однородная система всегда совместна и по предположению r m n , то из следствия 1 получаем, что система неопределенна, а, значит, помимо нулевого решения есть и другие.