-
§ 1. Множества. Основные операции над множествами
Теория множеств – раздел дискретной математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых математических понятий. Можно сказать, что множество – это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых образовано множество, называются его элементами. Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а элементы множеств – строчными буквами. Для задания множеств используются два способа.
Первый способ задания заключается в записи всех элементов множества внутри фигурных скобок через запятые. Например, множество, состоящее из n элементов
Второй способ состоит в указании общего свойства элементов, из которых образовано множество. Запись читается как “множество всех элементов , для которых верно ”. Например, обозначает множество четных чисел.
Выражение означает то, что элемент принадлежит множеству . Если не является элементом , то .
– пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. – универсальное множество или универс, т.е. множество, содержащее все элементы.
Запись (A включено в B) означает, что множество является подмножеством множества , т.е. все элементы множества принадлежат множеству . Пустое множество является подмножеством любого множества.
означает, что множества A и равны, т.е. они состоят из одних и тех же элементов или оба пусты.
(A строго включено в B), если и , т.е. является собственным подмножеством множества .
Для конечного множества мощность – это число элементов в . Для обозначения мощности используется запись . Множества и B равномощны, если между элементами этих множеств существует взаимно-однозначное соответствие.
Теоретико-множественные операции над множествами
— дополнение множества , т.е. все элементы универса, не принадлежащие .
– объединение множеств и , т.е. все элементы универса, принадлежащие или .
– пересечение множеств и , т.е. все элементы универса, принадлежащие и .
– разность между множествами и , т.е. множество всех элементов множества , не принадлежащих множеству .
– симметрическая разность множеств и , т.е. все элементы универса, принадлежащие только множеству или только множеству .
С помощью теоретико-множественных операций над множествами можно строить формулы. Для упрощения записи формул скобки можно опускать, придерживаясь следующего правила: пересечение сильнее всех остальных операций. Знак пересечения в формулах можно опускать. Таким образом, формулу можно записать в виде .
Две формулы алгебры множеств и тождественно равны, если они задают одно и то же множество. Равносильность формул будем называть тождеством и записывать в виде .
Например, формулы и задают одно и то же множество .
Основные тождества алгебры множеств
-
Коммутативные законы:
а) ; б) .
-
Ассоциативные законы:
а) ; б) .
-
Дистрибутивные законы:
а) ; б) .
-
Законы де Моргана:
а) ; б) .
5. Законы поглощения:
а) ; б) .
6. Законы идемпотентности:
а) ; б) .
7. а) ; б) .
8. а) ; б) .
9. а) ; б) .
10. а) ; б) .
11. а) ; б) .
-
.
13. – коммутативность симметрической разности.
14. .
-
.
Множества в силу ассоциативных законов не зависят от порядка расстановки скобок, поэтому их можно записывать без скобок. Введём обозначения:
; .
Имеют место следующие обобщённые тождества:
16. Законы обобщённой дистрибутивности:
а) б).
17. Законы обобщённой дистрибутивности:
а);
б) .
18. Обобщённые законы де Моргана:
а) ; б) .
Операция является двойственной к операции , и наоборот, операция двойственна к операции . Множество двойственно к Ø, а Ø двойственно к .
Если в формуле используются только операции и дополнение, а также множества U и Ø, тогда формула , которая получается из после замены каждого символа на двойственный, т.е. на , на , Ø на , на Ø, называется формулой двойственной к .
Если доказано тождество , то справедливо и двойственное тождество . Для его доказательства достаточно в доказательстве тождества каждый символ заменить на двойственный к нему. В соотношениях 1-11 и 16-18 попарно выписаны тождества и .
Для доказательства тождества достаточно показать, что и .
Лемма 1. .
Лемма 2. .
Лемма 3.
Лемма 4
Установленные выше тождества, а также леммы 1 – 4, позволяют доказывать более сложные утверждения и упрощать сложные условия, накладываемые на множества.
Пример 1. Доказать тождество:
Решение. 1 способ. Справедливость утверждения можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства, и наоборот.
(а) Докажем, что Пусть Если и то Значит, Если и то Значит, Показали, что
(б) Пусть теперь Тогда и Отсюда следует, что если то значит, но Если то , значит, но Тогда, и Тождество доказано.
2 способ. Этот способ основан на применении известных тождественных соотношений 1-18. Действительно, используя тождество 15, законы де Моргана 4б и дистрибутивность 3а, получаем в левой части доказываемого равенства:
Затем при помощи соответствующих тождеств приведём правую часть равенства к виду:
Сравнивая полученные выражения в левой и правой частях преобразованного равенства, заключаем, что тождество выполнено.
Пример 2. Упростить следующую систему условий:
Решение. Эти условия по лемме1 равносильны следующим:
Воспользуемся теперь основными тождествами 1-18 и первое условие заменим на более простое.
.
По лемме 3 получившиеся три условия равносильны одному:
Преобразуем левую часть полученного выражения:
Таким образом, система условий равносильна одному условию: . Ответ: .