Алгебра. ранг 1часть
.pdf
|
|
|
|
§7. Ранг матрицы. |
a |
a |
|
|
|
Пусть A |
11 |
1n |
- произвольная матрица порядка m n . |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
m1 |
mn |
|
|
Рассмотрим систему векторов в |
n |
|
|
||
A1 (a11, a12 , |
, a1n ) |
|
A2 (a21, a22 , |
, a2n ) |
|
Am (am1, am2 , , amn ) , т.е. систему строк матрицы A .
Ранг системы векторов {A1……Am} называется горизонтальным рангом матрицы A или рангом по строкам. Из определения ранга системы векторов получаем:
горизонтальным рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк данной матрицы.
Обозначение: rг (А)
Теперь рассмотрим систему векторов в |
m |
||||
|
|||||
A1 (a , a , |
, a |
) |
|
|
|
11 |
21 |
m1 |
|
|
|
A2 (a , a , |
, a |
|
) |
|
|
12 |
22 |
m2 |
|
|
|
An (a1n , a2n , , amn ) , т.е. систему столбцов матрицы A .
Ранг системы векторов {A1……An} называется вертикальным рангом или рангом по столбцам. Т.е.
вертикальным рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых столбцов данной матрицы.
Обозначение: rв(А).
Определение: Минорным рангом матрицы А называется такое число r, что существует минор порядка r отличный от нуля, а все миноры порядка большего чем r равны нулю. (т.е. максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы A ).
Обозначение: rм(А).
|
1 |
2 |
1 |
||
|
|
|
3 |
|
|
Пример. Пусть |
A 1 |
5 |
. |
||
|
|
2 1 |
4 |
|
|
|
|
3 |
4 |
9 |
|
|
|
|
|||
Система |
строк: |
A1 (1, 2, 1), |
A2 (1, 3,5), |
A3 (2, 1, 4), |
A4 (3, 4,9); . Ранг |
|||||||||
данной системы равен |
2 ( A3 A1 A2 , |
A4 A1 2A2 , |
A1, A2 - |
линейно независимы). |
||||||||||
Следовательно, rг ( A) =2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система столбцов: |
A1 (1,1, 2,3), |
A2 (2, 3, 1, 4), |
A3 ( 1,5, 4,9) . Ранг системы |
|||||||||||
равен 2 ( A1, A2 - линейно независимы, |
A3 |
7 |
A1 |
|
6 |
A2 ). Следовательно, r ( A) 2 . |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
в |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 2 5 отличен от нуля. Макимальный порядок миноров, которые |
|||||||||||
Минор |
1 |
|
||||||||||||
1 3 |
|
|||||||||||||
можно составить для данной матрицы, равен 3. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
Миноры 3-го порядка: |
1 |
3 |
5 |
12 20 1 6 8 5 0 , |
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
3 |
5 |
|
27 30 4 9 20 18 0 , |
|
2 |
1 |
4 |
9 24 8 3 36 16 0 , |
||
|
3 |
4 |
9 |
|
|
|
3 |
4 |
9 |
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
4 |
9 36 40 15 16 54 0 . |
|
Следовательно, |
максимальный порядок |
|||||
|
3 |
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличного от нуля минора равен 2, т.е. rM ( A) 2 . Мы видим, |
что rг (A) rв ( A) rM ( A) . |
|||||||||||
Позже мы покажем, что это верно для любой матрицы A. |
|
|
||||||||||
Замечание:
Если в матрице А равны нулю все миноры порядка r, то и все миноры порядка большего r тоже равны нулю. Это следует из теоремы Лапласа:
Рассмотрим в миноре порядка t>r первые r строк и разложим минор порядка t по первым r строкам: будем суммировать произведения миноров r-го порядка (которые все равны нулю) на их алгебраические дополнения в соответствующей минору порядка t матрице. В итоге будем суммировать нули и получим ноль.
Лемма (о сохранении ранга при элементарных преобразованиях)
Если матрица В получена из матрицы А перестановкой строк или столбцов, то rг(А)= rг(В), rв(А)= rв(В), rм(А)= rм(В).
Доказательство.
Допустим, что в А переставили i и j стоки.
|
a11 |
... ... |
a1n |
|
|
a11 |
... ... |
a1n |
||
A |
ai1 |
... ... |
ain |
|
, |
B |
a j1 |
... ... |
a j n |
|
a j1 |
... ... |
a jn |
|
a |
... ... |
a |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
i n |
|
|
a |
... ... |
a |
|
|
|
a |
... ... |
a |
|
|
m1 |
|
mn |
|
|
m1 |
|
mn |
||
.
rг(А)= рангу системы {A1, ..., Ai, ..., Aj , …, Am}= рангу системы {A1, ..., Aj , ..., Ai, …, Am}= рангу системы{B1, ..., Bi, ..., Bj , …,Bm}=rг(B).
Миноры матриц А и В могут отличаться только знаками, следовательно rм(А)= rм(В). Осталось доказать равенство вертикальных рангов.
Пусть B1 (a , |
|
, a |
j1 |
, |
|
|
, a |
, |
|
, a |
) |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
||
B2 (a , |
, a |
j2 |
, |
, a |
|
, |
, a |
|
) |
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
|
i2 |
|
m2 |
|
|
|
||||
Bn (a |
, |
, a |
jn |
, |
, a , |
, a ) - система столбцов матрицы B . |
|||||||||
1n |
|
|
|
|
|
|
in |
|
mn |
|
|
||||
Допустим, что |
B1 |
B2 |
|
Bn |
0 |
( ) . |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
По определению суммы векторов, умножения вектора на число и равенства векторов получаем, что равенство (*) выполняется тогда и только тогда, когда
|
|
a12 2 |
a1n n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a11 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
........................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
jn |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
j1 1 |
|
j 2 2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) . Но если в данной системе поменять местами i и j |
||||||||||
............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a a ... |
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i1 1 |
i 2 2 |
|
|
in |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
....................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
am2 2 |
|
amn n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
am1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a ... |
a 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
12 |
|
2 |
1n n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........................... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a ... |
a 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
1 |
i 2 |
|
2 |
in n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2). |
уравнения, то система не перестанет быть верной: ............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
j 2 |
... |
a |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
1 |
|
|
2 |
|
jn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
....................................... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
|
... |
a 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
1 |
|
m2 |
2 |
|
mn |
n |
|
|
Однако, cистема (2) |
|
эквивалентна равенству A1 |
A2 |
|
An |
0, |
( ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
где |
A1 (a , a |
|
, |
|
, a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
11 |
|
21 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 (a , a , |
, a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
12 |
|
22 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
An (a |
|
|
, a |
|
|
, , a |
|
) система столбцов матрицы A . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1n |
|
2n |
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, (*) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется (**).
Из леммы * (параграф 6) получим, что [ ранг системы {A1……An }]= [ ранг системы {B1……Bn}]. Откуда, по определению совпадают вертикальные ранги A и B.