Функція

Розділ ІV „ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ”

Функція 1. Поняття функції

Різноманітні процеси природи дають нам численні приклади явищ, в яких зміна одних величин приводить до зміни інших. Для вивчення того чи іншого явища треба встановити взаємозв’язок між величинами, які його описують, і дослідити його властивості. Такий взаємозв’язок у математиці задається за допомогою функції. Наведемо ряд прикладів.

Розглянемо дві змінні величини x та y з областями зміни X та Y відповідно ( X, Y – деякі числові множини).

Означення. Змінна y називається функцією змінної x, якщо кожному значенню x з її області зміни X за деяким правилом чи законом поставлено у

відповідність одне певне значення y Y.

При цьому x називається незалежною змінною або аргументом функції. Область зміни X незалежної змінної називається областю визначення функції.

Той факт, що y є функцією від x, записують так: y = f (x). Буквою f в цьому записі позначено закон відповідності між змінними x та y. Значення y0 Y змінної y, яке відповідає конкретному значенню x0 X аргумента, називають значенням функції

x = x0 і позначають y0 = f (x0).

Множину всіх значень функції, яких вона набуває на елементах множини , називають областю зміни функції або множиною її значень. Область визначення та множину значень функції y = f (x) позначають відповідно ще й так: D(y) та E(y) або D( f ) та E( f ).

Далі нам доведеться, в основному, мати справу з областями визначення функцій двох типів. Якщо областю визначення функції є множина (або підмножина) натуральних чисел, таку функцію будемо називати функцією цілочисельного аргументу. У випадку, коли областю визначення функції є один або кілька проміжків числової осі, функцію називають функцією неперервного аргументу.

При одночасному розгляді кількох різних функцій використовують різні букви для позначення кожного із законів відповідності, наприклад: y = f (x), y = g(x), y =

y = y(x), позначаючи однією буквою і функцію, і закон відповідності.

Інколи в означенні поняття функції допускають, що кожному значенню x Х

відповідає не одне, а кілька значень y Y. В цьому випадку функцію y = f (x) називають багатозначною на відміну від визначеного вище поняття однозначної функції. Дві функції вважаються рівними або тотожними, якщо вони мають одну й ту ж область визначення і один закон відповідності.

2.Основні способи задання функцій

Щоб задати деяку функцію y = f (x), потрібно задати, по-перше, область визначення функції X і, по-друге, закон відповідності, за яким кожному дійсному

числу x ставиться у відповідність деяке дійсне число y.

Основними способами задання функцій є аналітичний, табличний та графічний способи.

1

При аналітичному способі задання функції закон відповідності між значеннями аргументу та значеннями функції подається у вигляді однієї або кількох

формул (аналітичних виразів). Наприклад, формула y=2x-xsinx, x ; задає на множині дійсних чисел деяку функцію.

Функція

задана на відрізку [– 1, 2] за допомогою трьох формул.

Іноді функцію задають аналітично і не вказують її область визначення. В цьому випадку під областю визначення такої функції розуміють множину всіх дійсних значень аргументу, для яких аналітичний вираз має зміст і в процесі проведення всіх необхідних обчислень за цим виразом одержуються тільки дійсні числа. Наприклад, областю визначення функції y = x2 2x 3 4x 1 буде множина

тих значень аргументу x, для яких виконується умова x2 – 2x – 3 , тобто множина

D(y) = ]– ; – 1] [3; + [.

Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що для виписаних у певному порядку значень аргументу x1, x2, ..., xn вказують відповідні значення функції y1, y2, ..., yn.

Такими є, наприклад, таблиці тригонометричних функцій, таблиці логарифмів, таблиці результатів фізичних експериментів, в яких визначають залежність однієї величини від другої і т.і.

аргументу, відсутнім у таблиці (так звані методи інтерполяції).

У практиці фізичних досліджень широко використовується графічний спосіб задання функції. Для з’ясування суті цього способу введемо спочатку поняття

графіка функції y = f (x) з областю визначення x X. В декартовій прямокутній системі координат Оxy розглянемо множину X точок на осі Оx, яка відповідає

області визначення функції. Кожній парі (х, у), де x X y = f (x), поставимо у

2

відповідність точку М площини з координатами (x, f (x)). Сукупність всіх точок площини, абсциси яких є значеннями аргументу функції, а ординати – відповідними значеннями функції, називається графіком даної функції (рис 1).

Для переважної більшості функцій, які розглядаються у нашому курсі, областю визначення є один або кілька проміжків, а графіком – деяка крива.

Наприклад, графіком функції y = x3, x ]– , + ] є кубічна парабола (рис 2). Одночасно рівняння y = x3 буде рівнянням цієї параболи в системі координат Оxy. Проте зустрічаються випадки, коли графік функції, визначеної на деякому проміжку, важко назвати кривою. Прикладом такої функції може служити функція

Діріхле :

1,якщох раціональнечисло, y .

0,якщох ірраціональнечисло.

Якщо в прямокутній системі координат на площині задана деяка сукупність точок M(x; y), причому ніякі дві з цих точок не лежать на одній прямій, паралельній осі Оy, то ця сукупність точок визначає цілком певну однозначну функцію y = f (x). Значеннями аргументу функції є абсциси точок, значеннями функції – відповідні ординати; сама сукупність точок є графіком цієї функції.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов’язаних з використанням приладів-самозаписувачів (осцилограф, барограф, електрокардіограф і т.і. ). Крива, що її виписує прилад, задає деяку функцію, властивості якої треба знати для вивчення того чи іншого процесу.

3. Поняття про обернену функцію

Нехай однозначна функція y = f (x) задана на відрізку a, b і множиною значень цієї функції є деякий відрізок c, d на осі Оy.

Нехай далі кожному y c, d відповідає тільки одне x a, b для якого f (x) = у. Тоді на відрізку c, d визначена однозначна функція, яка кожному y з відрізка c, d

ставить у відповідність те значення x відрізка a, b , для якого f (x) = y. Ця функція позначається символом x = f –1(y) і називається оберненою для функції y = f (x). Очевидно, що оберненою для функції x = f –1(y) буде сама функція y = f (x).Тому функції y = f (x) та x = f – 1(y) називають взаємно оберненими. Наприклад, для функції

y = 2x на будь-якому проміжку x a b оберненою буде функція x= 12 y, визначена на

відрізку [2a, 2b]. Вигляд оберненої функції ми знайшли, розв’язавши рівняння y=2x відносно x.

Графіки функцій y = f (x) та x = f (y) складаються з одних і тих же точок координатної площини, тобто збігаються. Якщо ж перейти в оберненій функції до

звичних позначень (аргумент – x, функція – y), тобто замість x = f (y) розглянути функцію y = f (x), то графіки функцій y = f (x) та y = f x вже будуть відрізнятись, а

3

саме, графік функції y = f x буде симетричним з графіком функції y = f (x) відносно бісектриси y = x першого – третього координатних кутів (рис 3).

Умови існування та деякі властивості оберненої функції будуть розглянуті далі.

Рис 3

4. Елементарні функції

При побудові класу елементарних функцій використовуються так звані

основні елементарні функції, до яких відносяться: степенева функція y = x ( – дійсне число); показникова функція y = ax (a > 0, a 1 – дійсне число);

логарифмічна функція y = loga x (a > 0, a 1 – дійсне число); тригонометричні функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;

обернені тригонометричні функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Ці функції, їх основні властивості розглядаються в шкільному курсі математики. На рис 4 – 23 зображено ескізи графіків деяких основних елементарних функцій.

Основні елементарні функції, їх графіки та властивості І. Степенева функція у = хп,

де х – незалежна зміна (аргумент), п – стала.

а). Лінійна функція y = kx + b.

1.Область визначення – множина всіх дійних чисел: х R .

2.Множина значень – множина всіх дійсних чисел: y R .

4

3.Функція y = kx + b не парна, ні непарна.

4.Функція зростає при k > 0 і спадає при k < 0.

5.Графіком функції y = kx + b є пряма лінія для якої k = tg . Число k називається кутовим коефіцієнтом прямої і дорівнює тангенсу кута, який пряма утворює з додатнім напрямом осі ОХ.

Число b дорівнює величині відрізка, який пряма y = kx + b відтинає на осі OY.

б). Функція у = х2.

Y

у = х2

1

1.Область визначення – множина всіх дійсних чисел: х R .

2.Множина значень – всі невід’ємні числа: y > 0.

3.Функція у = х2 парна: у(–х) = (–х)2 = х2 = у(х).

4.Функція у = х2 зростає при x > 0, спадає при x < 0.

5.Графіком функції є парабола.

6.Всі властивості, наведені для функції у = х2, мають місце для функції у = хп, де п

– парне число.

в). Функція у = х3.

1.Область визначення – множина всіх дійсних чисел: х R .

2.Множина значень – множина всіх дійсних чисел: у R .

3.Функція у = х3 парна: у(–х) = (–х)3 = –х3 = –у(х).

4.Функція зростає на всій області визначення.

5.Графіком функції є кубічна парабола.

6.Всі властивості, наведені для функції у = х3, мають місце для функції у = хп, де п

– непарне число.

г). Функція y x.

5

Y

y x.

1

1.Область визначення – невід’ємні числа: х [0; + ).

2.Множина значень – невід’ємні числа: y [0; + ).

4.Функція зростає на всій області визначення.

5.Графік функції зображено на рисунку.

1.Область визначення – множина всіх дійсних чисел: х R .

2.Множина значень – множина всіх дійсних чисел: у R .

де п – непарне.

6

6. Графік функції у = ах проходить через т. (0; 1).

7

ІІІ. Логарифмічна функція y = loga x.

1.Область визначення – всі додатні числа: х (0; + ).

2.Множина значень – множина всіх дійсних чисел: у R .

3.Функція ні парна, ні непарна.

4.Функція y = loga x зростає, якщо a > 1 і спадає, якщо 0 < a < 1.

5.Графік функції y = loga x має асимптоту х = 0 (вісь Оу).

6.Графік функції y = loga x проходить через т. (1; 0).

IV. Тригонометричні функції a). y = sin x

8

9

4.Функція спадає на всій області визначення.

5.Функція має вертикальні асимптоти: х π п, п Z .

6.Функція y = сtg x періодична Т = π.

V. Обернені тригонометричні функції.

а). у = arcsin x

Оберненою тригонометричною функцією у = arcsin x називається взята на

1.Область визначення: –1 х 1 .

2.Множина значень: 2 x 2.

3.Функція y = arcsin x непарна: y(–х) = arcsin (–x) = –arcsin x = –у(x).

4.Функція зростає на всій області визначення.

б). у = arccos x

Y

π

π/2

Оберненою тригонометричною функцією у = arccos x називається взята на відрізку [0; π] величина у, косинус якої дорівнює х.

1.Область визначення: –1 х 1 .

2.Множина значень: y π .

10