Функція
.pdf
3.Функція y = arccos x не є ні парною, ні непарною, але виконується рівність: y(–х) = arccos (–x) = π – arccos x .
4.Функція спадає на всій області визначення.
в). у = arctg x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
Y |
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = arctg x називається взята на |
|||||||||||||||||||||||||
|
Оберненою тригонометричною функцією |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
відрізку |
величина у, тангенс якої дорівнює х. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Область визначення: |
х R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Множина значень: |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Функція y = arctg x непарна: y(–х) = arctg (–x) = – arctg x = –у(x). 4. Функція зростає на всій області визначення.
5. Функція y = arctg x має дві горизонтальні асимптоти: y 2 ; y 2.
г). y = arcсtg x
Y 
π
π/2
О Х
Оберненою тригонометричною функцією у = arcсtg x називається взята на відрізку (0; π) величина у, котангенс якої дорівнює х.
1.Область визначення: х R .
2.Множина значень: < y < π .
3.Функція y = arcсtg x не є ні парною, ні непарною, але виконується рівність: y(–х) = arcсtg (–x) = π – arcсtg x .
4.Функція спадає на всій області визначення.
5.Функція y = arcсtg x має дві горизонтальні асимптоти: у = 0; у = π.
11
Повний аналіз властивостей і побудова графіка тієї чи іншої елементарної функції (на відміну від основних елементарних функцій) може виявитись досить складною задачею. Загальні методи дослідження функцій і побудови їх графіків розглядаються в диференціальному численні. Проте в деяких випадках ескіз графіка функції можна побудувати, виконуючи перетворення вже відомого графіка іншої, простішої функції. Розглянемо деякі з цих перетворень.
Припустимо, що побудовано графік функції y = f (x), x X. В наведеній нижче таблиці вказано перетворення графіка функції y = f (x), які потрібно виконати, щоб дістати ескіз графіка нової функції.
№ |
Нова функція |
Перетворення графіка функції y = f (x) |
|
п/п |
|||
|
|
1y = f (x) + b, b 0 Зсув по осі Oу вгору на b одиниць, якщо b > 0,
або вниз на |b| одиниць, якщо b < 0.
2y = f (x – a), a 0 Зсув по осі Oх праворуч на а одиниць, якщо
а> 0, або ліворуч на |a| одиниць, якщо a < 0.
3y = kf (x), k > 0 Розтяг уздовж осі Oу від осі Oх в k разів, якщо
|
k > 1, та стиск уздовж осі Oу до осі Oх в |
|
разів, якщо 0 < k < 1. |
4 y = – f (x) |
Симетричне відображення графіка |
|
відносно осі Oх |
5y = f (kx), k > 0 Стиск уздовж осі Oх до осі Oу в k разів, якщо
k > 1, або розтяг уздовж осі Oх від осі Oу в
1 k
|
|
1 разів, якщо 0 < k < 1. |
|
|
k |
6 |
y = f (– x) |
Симетричне відображення графіка |
|
|
відносно осі Oу. |
7 |
y = |f (x)| |
Симетричне відображення відносно осі Oх |
|
|
частини графіка, яка лежить нижче цієї осі. |
|
|
Решта графіка залишається без змін. |
8 |
y = f (|x|) |
Частина графіка, яка лежить ліворуч від осі Oу, |
|
|
відкидається; частина графіка що лежить |
|
|
праворуч від осі Oу, залишається і, крім того, |
|
|
симетрично відображається відносно осі Oу. |
Приклад. Побудувати графік функції y = |x2 – 4|x| + 3|.
Розв’язання. Функція визначена на всій числовій осі. Враховуючи те, що x2 = | x|2, будемо мати
y = |x2 – 4|x| + 3| = |(|x| – 2)2 – 1|.
Побудову графіка даної функції починаємо з побудови графіка параболи у = х2, до якого застосовуємо таку послідовність перетворень:
y x2 2 y (x 2)2 1 y (x 2)2 1 8 y (| x | 2)2 1 7
7 y (| x | 2)2 1.
Процес перетворень показано на рис.:
12
Рис. 24
13