Вычисление средней арифметической по способу моментов (условных отклонений)

При больших числовых значениях признака в значительных по объему сово- купностях средняя арифметическая вычисляется упрощенным способом, который называется “способ моментов” или “способ условных отклонений”.

Вычисление средней арифметической по способу моментов основано на сле- дующих ее свойствах:

Каждая варианта отклоняется от средней в большую или в меньшую сторону.

Это отклонение (d) может быть выражено положительным или отрицательным числом.

Сумма отклонений с положительным знаком всегда равна сумме отклонений с отрицательным знаком, следовательно, алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю ( это свойство средней лежит в основе данного способа вычисления).

Средняя арифметическая равна любой произвольно взятой величине плюс среднее отклонение от нее всех членов ряда, которое имеет выражение Pd и называется моментом первой степени (обозначается буквой А) n

Средняя арифметическая вычисляется по формуле:

М  М

• ^ , где М - средняя арифметическая

d P

1 _n

М₁ - “условная” средняя арифметическая

d - отклонение условной средней от вариант Р - частота

n - число наблюдений

 - знак суммирования

Вычисление ведется от “условной” средней (М₁). За среднюю условно при- нимается любая варианта, чаще мода (как наиболее часто встречающаяся вариан- та). Если эта величина действительно средняя арифметическая, то сумма откло- нений всех вариант от нее будет равна нулю. Если сумма отклонений будет рав-

няться какой-то величине, то это означает, что “условная” средняя не соответст- вует действительной и к ней требуется поправка (момент первой степени - А):

Pd

Если, А = n , тогда М = М₁ + А

ПРИМЕР: Средняя дневная нагрузка врача-терапевта в поликлинике

Число больных (V)	Число приемов (Р)	d (d = V - M1)	Pd
14	2	- 4	- 8
15	1	- 3	- 3
16	3	- 2	- 6
17	3	- 1	- 3
18	4	0	0
19	4	+ 1	+ 4
20	3	+ 2	+ 6
21	2	+ 3	+ 6
	n = 22		Pd = - 4

Pd -4

М₁ = 18; n = 22 = - 0,18

Таким образом, М = 18 + (- 0,18) = 17,82.

Последовательность вычислений: Выбираем “условную” среднюю М₁ = 18 больных

Определяем отклонение ( d ) каждой варианты от “условной” средней

d = V - M₁

Найденные отклонения умножают на частоты P  (V - M₁) = Pd Вычисляем алгебраическую сумму всех отклонений Рd = - 4 По формуле определяем среднюю арифметическую

Pd - 4

М = М₁ + n М = 18 + 22 = 18 + (- 0,18) = 17,82

Параметры средней арифметической

Средние величины являются важными характеристиками совокупности, од- нако они полностью не раскрывают индивидуальные значения признака, которые отличаются от средних и различаются между собой. Средние величины скрывают изменчивость, колеблемость признака, его рассеянность.

При обработке вариационного ряда недостаточно только лишь вычислить среднюю арифметическую, нужно еще оценить, насколько она типична и досто- верна для данной совокупности. Для этого в статистике существуют специальные параметры средней - мера типичности и мера достоверности.

ОЦЕНКА ТИПИЧНОСТИ СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ

Чем вариационный ряд более компактен, менее рассеян, тем лучше средняя арифметическая характеризует данную совокупность.

Если вариационный ряд растянут, отдельные значения вариант сильно от- клоняются от средней (т.е. имеется большая вариабельность, колеблемость при- знака), то средняя хуже характеризует ряд в целом и является менее типичной для данной совокупности.

Таким образом, кроме средней необходима еще одна характеристика ряда: его колеблемость.

Простейшей мерой колеблемости ряда является амплитуда (вариационный размах), т.е. разность крайних вариант. Например, при подсчете частоты пульса у одной группы обследованных средняя составляла 68, минимальное число было 60, а максимальное - 70. У второй группы средняя частота пульса составляла так- же 68, но наименьшее число было 55, а наибольшее - 80. Амплитуда в первой группе значительно меньше и, следовательно, все значения группируются вокруг средней. Вторая совокупность более разнообразна, ее рассеяность велика и коле- бания отдельных значений от средней больше; следовательно, средняя в этой группе менее типична , чем в первой группе.

Мерой колеблемости, изменчивости признака и мерой типичности средней арифметической является среднее квадратическое отклонение (сиг- ма - ), которое определяется по формуле (по способу моментов):

 _{ dp}

2

 =  ^{ }





 ⁿ 

ПРИМЕР: Результаты измерения массы тела мальчиков 12 лет

Масса тела (V)	Число лиц (Р)	d = (V - M1)	Pd	d2	d2P
20	1	- 5	- 5	25	25
22	5	- 3	- 15	9	45
23	6	- 2	- 12	4	24
25 = M1	10	0	0	0	0
28	5	3	15	9	45
29	4	4	16	16	64
31	2	6	12	36	72
	n = 33		Pd = 11		Pd2 = 275

Pd² Pd ² 275 11 ²

 =   n  n =   33  33 =   8,3- (0,33)² =   8,3 - 0,1=  2,86 кг

Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем выше колеблемость данного вариационного ряда.

Для оценки типичности средней арифметической с помощью среднего квад- ратического отклонения в статистике применяется так называемое “правило трех сигм”. Это правило основано на законе нормального распределения и отражает теоретическую закономерность распределения вероятностей случайных со- бытий в условиях бесконечно большого количества наблюдений.

Согласно теории вероятности, в явлениях, подчиняющихся закону нормально- го распределения, между значениями средней арифметической ( М ), средним квадратическим отклонением (  ) и отдельными значениями вариант существует строгая зависимость: в интервале М1 находится 68,3% всех вариант ряда, в интервале М2 - 95,5%, в интервале М3 находится 99,7% всех вариант, т.е. практически весь вариационный ряд укладывается в этот предел.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение является стандартным отклонением, позволяющим предвидеть вероятность появления такого значения изучаемого признака, которое находится в пределах заданных границ.

М  1   68,3%

М  2   95,5%

М  3   99,7%

Для того, чтобы проверить, насколько средняя арифметическая типична для той совокупности, из которой она вычислена, нужно к ней прибавить и отнять утроенную сигму ( М3 ). Если в полученный интервал данный ва- риационный ряд укладывается, то средняя типична; если не укладывается - средняя нетипична, совокупность неоднородна и число наблюдений недос- таточно.

Графическим изображением “правила трех сигм” является кривая нормально- го распределения (биноминальная кривая Ньютона, кривая Гаусса).

Форма этой кривой отражает степень вариабельности результатов наблюде- ний: при большой разбросанности данных она будет пологой, при малой разбро- санности - крутой. В силу симметричности кривой перпендикуляр, опущенный из ее максимума на ось абсцисс, пересекает ее в точке, соответствующей среднему значению данных, отложенных по этой оси ( М, Мо, Ме ).