![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных
- •Общие методические указания
- •Функция. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
- •Предел и непрерывность функции.
- •Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Физические приложения производной.
- •Производная сложной функции.
- •Производные показательных и логарифмических функций.
- •Производные высших порядков
- •Производные неявной функции.
- •Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
- •Дифференциал функции.
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Индивидуальные задания. Задание1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10.
- •Задание 11.
- •2.Функции нескольких переменных.
- •Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Расчетные задания.
Частные производные высших порядков.
Пусть
функция
имеет первые частные производные
в точке
и в каждой точке некоторой окрестности
точки
.
Тогда частные производные от частных
производных
называютсячастными
производными второго порядка
от функции
в точке
.
Частные производные второго порядка
обозначаются
;
;
;
.
Если
частные производные первого порядка
непрерывны, то значение «смешанной»
производной не зависит от порядка
дифференцирования, т.е.
.
Это положение распространяется и на
частные производные более высокого
порядка.
Пример
№19
Найти вторые частные производные функции
.
Решение:
Вначале находим частные производные первого порядка:
;
.
Далее находим
;
.
Пример
№20
Проверить, что
,
если
.
Решение:
Находим
;
.
Далее,
;
.
Очевидно, что
.
Задания:
Найти вторые частные производные от заданных функций:
а)
;
b)
;
c)
.
2. Проверить,
что
для функций:
а);
b);
c).
3. Показать,
что функция
удовлетворяет уравнению
.
Экстремум функции двух переменных
Функция
имеет максимум ( минимум) в точке
если для любой точки
,
находящейся в некоторой
-
окрестности точки
,
выполняется условие
;
-
окрестность можно представить множеством
точек
,
координаты которых удовлетворяют
условию
,
где
–
положительное достаточно малое число.
Максимумы
и минимумы функции называются экстремумами,
а
-экстремальной
точкой.
Необходимое
условие экстремума:
Если
- дифференцируемая функция и достигает
в точке
экстремума, то ее частные производные
первого порядка в этой точке равны нулю:
.
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в ноль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть
- стационарная точка функции
.
Для ее исследования сначала вычисляют
частные производные второго порядка в
точке
:
,
а затем дискриминант
Тогда достаточные условия экстремума
функции запишутся в следующем виде:
– экстремум есть, при этом, если
( или
), в точке
функция имеетминимум, а если
( или
) –максимум;
– экстремума нет;
– требуются дополнительные исследования.
Условный экстремум
Рассмотрим
функцию
,
определенную и дифференцируемую в
области
,
координаты точек которой удовлетворяют
системе уравнений связи
.
В этой области нужно найти такую точку
,
чтобы выполнялось условие
.
Такие задачи называютсязадачами
отыскания условного экстремума функции
.
Для
отыскания условного экстремума
исследуется на обычный экстремум функция
Лагранжа
.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:
Из
этой системы
уравнений с
неизвестными находят значения неизвестных
.
Числа
называютсякоэффициентами
Лагранжа.
Пример
№21
Найти экстремумы функции
при условии
.
Решение:
Составляем
функцию Лагранжа:
.
Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа:
В
данном случае
.
Для
исследования на экстремум в полученных
критических точках вычисляем значения
и составляем
определитель:
.
Если
,
то
имеет в точке
условный максимум, если
– условный минимум.
Итак,
,
следовательно, в точке
условный минимум,
,
следовательно, в точке
условный максимум,
.
Задания:
Найти экстремумы функций
а)
;
b)
;
c).
2. Найти условные экстремумы функций:
а)
b)
при
;
c)
при
Типовые примеры.
Задание 1.
Найти
область определения функции z=
и её частные производные.
Решение.
Областью
определения функции z=
является множество точек плоскости, за
исключением точек, удовлетворяющих
равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на
прямой у=х-6.
Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.
z’x=
При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const
z’y=
Задание 2.
Дана
функция z=ху+х
.
Показать, что х
Решение.
Найдём частные производные функции z.
Подставим найденные производные в заданное выражение.
Х
x(у+е+у(х+е
ху+хе
2ху+хе
2ху+хе
Задание 3.
Найти
частные производные и частные дифференциалы
функции z=ctg
Решение.
Найдём частные производные:
;
Найдём частные дифференциалы.
dz=
dz
Задание 4.
Вычислить
значения частных производных f'f’
,f’
в
точке М
(1;
для функции
f'=
=-
f’;
f’;
f'(М
;
f'(М
;
f'(М
Задание 5.
Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)
Решение.
Полный дифференциал функции определяется формулой
dz=
Найдём частные производные функции
Полный дифференциал
dz=
Задание 6.
Вычислить
значение производной сложной функции
z=,
где х=е
;
у=2-е
,
приt
=0.
Решение.
Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле
Найдём все производные:
Тогда
Найдём
значение производной
в точке t
Задание7.
Вычислить значения частных производных неявной функции
ев точке М
(
;
Решение.
Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:
;
Нам задана неявная функция
е
FF
F
Следовательно
Найдём
производные в точке М(
;
Задание 8.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
S:
z=в точке М
Решение.
Если
уравнение поверхности задано в явной
форме z=f(x,у),
то уравнение касательной плоскости в
точке Мимеет вид
z-.
Уравнение нормали
Найдём
частные производные данной функции и
их значения в точке М
f(f
f(f
Отсюда, применяя формулы, будем иметь
z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и
- уравнение нормали.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке М
Решение.
Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид
Найдём
частные производные функции F
(x,y,z)
и их значения в точке М
Следовательно уравнение касательной плоскости:
-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0 или х+z+2=0
Уравнение нормали
или
Задание 9.
Найти
градиент функции Z=в точке М
Решение.
Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.
=
Найдём
частные производные функции z
и их значения в точке М
=
1
Следовательно,
gradz=2
Задание 10.
Исследовать
на экстремум функцию z=
Решение.
Найдём частные производные:
Используя необходимое условие экстремума:
Составим систему уравнений
Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.
Стационарные
точки М(-2;-1);
М
(2;1);
М
(-1;-2);
М
(1;2)
Найдём производные второго порядка
=6у;
И
составим дискриминант ∆=Адля каждой стационарной точки
Для точки М
: А=
; В=
; С=
∆=А.
В
точке Мфункция имеет максимум, равныйz
=-8-6+30+12=28
Для точки М
: А=12; В=6; С=12;
∆=144-36>0; А>0.
В
точке Мфункция имеет минимум, равныйz
=8+6-30-12=-28
Для точки М
: А=-6; В=-12; С=-6;
∆=36-144<0. Экстремума нет
Для точки М
: А=6; В=12; С=6;
∆=36-144<0. Экстремума нет