![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных
- •Общие методические указания
- •Функция. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
- •Предел и непрерывность функции.
- •Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Физические приложения производной.
- •Производная сложной функции.
- •Производные показательных и логарифмических функций.
- •Производные высших порядков
- •Производные неявной функции.
- •Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
- •Дифференциал функции.
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Индивидуальные задания. Задание1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10.
- •Задание 11.
- •2.Функции нескольких переменных.
- •Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Расчетные задания.
Производная сложной функции.
Если
,
где
,
т.е. если
зависит от
через посредство промежуточного
аргумента
,
то
называется сложной функцией от
.
Определение
4.9.
Производная сложной функции равна
произведению её производной по
промежуточному аргументу на производную
этого аргумента по независимой переменной:
или
Так,
если
,
то формулы дифференцирования будут
иметь следующий вид:
Пример №9: Найти производные следующих функций:
;
;
;
Решение:
Полагая
, где
, и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:
;
;
Полагая
, получим:
Полагаем
:
Задания: Найти производные следующих функций:
;
;
;
;
Производные показательных и логарифмических функций.
Общие формулы и их частные виды:
Для
дифференцирования логарифмической
функции с основанием
можно предварительно преобразовать её
в логарифмическую функцию с основанием
по формуле
Пример №10: Найти производные следующих функций:
;
;
.
Решение:
;
;
.
Задания: Найти производные следующих функций:
;
;
.
Производные высших порядков
Если
есть производная от функции
,
то производная от
называется второй производной, или
производной второго порядка от
первоначальной функции
,
и обозначается
,
или
,
или
Пример №11: Для данных функций найти производные указанных порядков:
,
;
,
;
,
.
Решение:
Дифференцируя функцию
, получим:
. Дифференцируя производную
, получим:
. Дифференцируя вторую производную
, получим
.
. Для нахождения следующих производных здесь полезно ввести отрицательный показатель степени.
,
,
,
.
,
. При
найдём
.
Задания:
,
; 2)
,
.
Производные неявной функции.
Если
есть неявная функция от
,
т.е. задана уравнением
,
не разрешенным относительно
,
то для нахождения производной
нужно продифференцировать по
обе части равенства, помня, что
есть функция от
,
и затем разрешить полученное равенство
относительно искомой производной. Как
правило, она будет зависеть от
и
;
.
Пример №12: Для данных неявных функций найти производные указанного порядка:
,
;
,
;
,
.
Решение:
Дифференцируем по
обе части равенства, где
есть функция от
, получим:
Дифференцируя по
, получим:
. Подставляя заданное значение
в исходное уравнение, найдём два соответствующих ему значения
:
,
. Поэтому при
и производная
имеет два значения:
;
.
Прологарифмируем обе части данного уравнения (по основанию
), затем дифференцируем по
, рассматривая
как функцию
:
;
;
. Отсюда найдём
.
Задания:
,
;
,
;
,
.
Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
Если
плоская кривая отнесена к прямоугольной
системе координат, то уравнения
касательной и нормали к ней в точке
имеют вид:
;
,
где
-
значение в точке
производной
из уравнений кривой.
Направление кривой в каждой её точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле:
, где
и
-
угловые коэффициенты касательных к
кривым в точке их пересечения
,
т.е. частные значения в точке
производных от
по
из уравнений этих кривых:
;
.
Задания: Составить уравнения касательной и нормали:
к параболе
в точке, где
;
к окружности
в точках пересечения её с осью
.