- •Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных
- •Общие методические указания
- •Функция. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
- •Предел и непрерывность функции.
- •Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Физические приложения производной.
- •Производная сложной функции.
- •Производные показательных и логарифмических функций.
- •Производные высших порядков
- •Производные неявной функции.
- •Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
- •Дифференциал функции.
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Индивидуальные задания. Задание1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10.
- •Задание 11.
- •2.Функции нескольких переменных.
- •Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Расчетные задания.
Предел и непрерывность функции.
Определение 4.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиили в некоторых точках этой окрестности. Функциястремится к пределу впри, стремящемся к , если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Если есть предел функции при , то пишут:.
Определение 4.6. Функция называется непрерывной при значении ( или в точке ), если она определена в некоторой окрестности точкии если
Определение 4.7. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Свойства пределов.
Теорема 1: Предел алгебраической суммы двух, трёх и вообще определённого числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:
Пример №3
Теорема 2: Предел произведения двух, трёх или вообще определённого числа переменных равен произведению пределов этих переменных
Пример №4 .
Теорема 3: Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: .
Пример №5
Пример №6 Найти
Здесь знаменатель и числитель при стремится к нулю, и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведём следующее тождественное преобразование:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Задания: Вычислить указанные пределы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Определение 4.8. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращениюаргумента, когда последнее стремится к нулю:.
Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Для производной функции употребляются следующие обозначения:,,или,,. Нахождение производной называется дифференцированием.
Пример №7 Дана функция , найти её производную:
В произвольной точке
при
Решение:
При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем: .
Находим приращение функции: . Составляем отношение . Переходя к пределу, найдём производную от данной функции:.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна .
При получим: .
Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня.
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
Частные случаи формулы (4): ;
При вычислении производных необходимо помнить, что ;;, и знать следующие правила действий со степенями и корнями:;;;, здесьи- любые рациональные числа.
Физические приложения производной.
При прямолинейном движении точки скорость в данный моментесть производнаяот путипо времени, вычисленная при.
Ускорение в данный моментесть производнаяот скоростипо времени, вычисленная при.
Пример №8 Найти производные следующих функций:
Решение:
Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:
Пользуясь формулой дифференцирования частного получим:
Задания: Найти производные следующих функций:
;
;
;
;
;
.