2.Функции нескольких переменных.

Если любой упорядоченной паре чисел из некоторого числового множествапоставлено в соответствие согласно некоторому правилучислоиз множества, то говорят, что на множествезадана функция. При этом переменныеназываются независимыми переменными, а переменная–зависимой переменной или функцией двух переменных. Множество называется областью определения функции, а множество –множеством значений функции.

Геометрическим изображением функции в прямоугольной системе координатявляется некоторая поверхность.

Линией уровня функцииназывается линия на плоскости. В каждой точке, лежащей на этой линии, функцияпринимает значение, равное. Поверхностью уровняфункцииназывается поверхность, в точках которой функциясохраняет значение, равное.

Задания:

1. Найти области определения следующих функций:

1. ; б) ; в); г)

2. Построить линии уровней следующих функций (для )

1. ; b); c)

Частные производные. Производная по направлению. Градиент.

Определение 5.1. Частной производной от функции по независимой переменнойназывается конечный предел, вычисленный при постоянном значении.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример №16 Найти , если

Решение:

При вычислении переменнаярассматривается как постоянная величина:.

Рассмотрим теперь переменную как постоянную величину:.

Задания:

1. Найти частные производные от функций:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным уравнениям:

а) ;+.

b) .

Определение 5.2. Пусть определена в некоторой окрестности точки, пусть– единичный вектор, задающий направление прямой, проходящей через точку. Выберем на прямойточку. Рассмотрим приращение функциив точкеПредел отношения, если он существует, называетсяпроизводной функции в точкепо направлению и обозначается .

Если функция имеет в точкенепрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки; вычисляется эта производная по формуле, гдеи- направляющие косинусы вектора.

Пример №17

Вычислить производную функции в точкепо направлению вектора.

Решение:

Находим единичный вектор , совпадающий с направлением вектора(т.е. найдем орт вектора:=, т.е.,. Находим частные производныеи вычисляем их значение в точке:=5. Тогда

Определение 5.3. Градиентом функции в точкеназывается вектор с началом в точке, координаты которого равны соответствующим частным производным, вычисленным в точке. Градиент обозначается.

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для функции трех переменных в точке

;

, где ,- направляющие косинусы вектора

Пример №18 Найти градиент функции в точке.

Решение: Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значения этих производных в точке :

.

Окончательно получаем .

Задания:

1. Найти производные приведенных функций по направлению вектора в заданной точке:

a) ,в точке;

b) ,в точке;

c) ,в точке.

2. Найти градиент следующих функций:

а) в точке;

b) в точке;

c) в точке;

d) в точке.