![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных
- •Общие методические указания
- •Функция. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
- •Предел и непрерывность функции.
- •Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Физические приложения производной.
- •Производная сложной функции.
- •Производные показательных и логарифмических функций.
- •Производные высших порядков
- •Производные неявной функции.
- •Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
- •Дифференциал функции.
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Индивидуальные задания. Задание1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10.
- •Задание 11.
- •2.Функции нескольких переменных.
- •Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Расчетные задания.
Дифференциал функции.
Из
определений производной
и предела переменной следует, что
,
или
.
Главная
часть приращения функции, линейная
относительно приращения независимой
переменной, называется дифференциалом
функции и обозначается знаком
:
.
Дифференциал
независимой переменной
равен её приращению,
,
поэтому
,
т.е. дифференциал функции равен её
производной, умноженной на дифференциал
независимой переменной.
Пример№13.
Найти полное приращение функции
и её дифференциал, сравнить их значения
при
.
Решение: Полное приращение запишем в виде:
Преобразовав его, получим:
Найдём
полный дифференциал. По определению он
равен
В
точке
имеем
,
.
При достаточно малых
полное приращение функции и дифференциал
отличаются незначительно, т.е.
.
Это обстоятельство используется для
приближенных вычислений:
,
или
.
Пример№14:
Найти
приближенное значение
.
Решение:
Представим
,
тогда
,
:
.
Задания:1) Найти дифференциал функций:
;
;
.
Вычислить приближенное значение:
; b).
.
Определение
4.10.
Дифференциалом второго порядка называется
дифференциал
,
обозначается
.
Тогда
.
Исследование функций и построение их графиков
Схема исследования функции и построения графиков:
Определить область существования функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.
Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.
Найти интервалы выпуклости вверх и вниз; определить точки перегиба.
Построить график функции.
Пример
№15
Построить график функции:
.
Решение:
Область существования функции
Функция не является ни четной ни нечетной.
Найдём точки пересечения с осями координат:
при
при
,
,
т.е. кривая пересекает ось
и осьO
в начале координат.
Точка разрыва:
.
Исследуем характер разрыва:
:
,
т.е. разрыв бесконечный 2-го рода.
Найдём
асимптоты графика функции:
-
вертикальная асимптота; т.к.
,
,
горизонтальных асимптот нет.
Рассмотрим
Таким
образом, график функции имеет наклонную
асимптоту
.
Вычислим первую производную и исследуем её знаки:
,
для
-
функция возрастает;
,
для
-
функция убывает.
В
точках
и
производная
,
но в окрестности точки
она меняет знак, поэтому в точке
функция имеет экстремум (максимум); в
окрестности точки
производная
не изменяет знака, следовательно, точка
не является точкой экстремума функции.
Вычислим
значения:
,
.
В
точкепроизводная не существует, но в этой
точке не существует и сама функция,
поэтому
не является критической точкой для
производной.
Вычислим вторую производную и исследуем её знаки:
для
-
функция выпукла вверх.
для
-
функция выпукла вниз.
В
точке
,
и в окрестности этой точки вторая
производная изменяет знак, значит, в
точки
функция имеет точку перегиба.
Результаты исследований наносим на график.
Задания: Построить графики функций:
;
;
Индивидуальные задания. Задание1
Вычислить предел:
17.;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
25.;
26.
;