Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КвантМех Методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

205.69 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Челябинский государственный университет"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Челябинск 2004

Одобрено учебно-методической комиссией физического факультета.

Методические указания состоят из девяти разделов, каждый из которых включает в себя вопросы теоретического минимума, примеры решения задач и список задач, рекомендованных для самостоятельного решения. При работе с методическими указаниями следует пользоваться литературой, приведенной в конце.

Предназначены для студентов, обучающихся на физических факультетах университетов.

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. А.Е.Майер; д-р физ.-мат. наук, проф. А.П.Яловец

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А.В.Лаппа

I. ОПЕРАТОРЫ Контрольные вопросы

1.Операторы физических величин в квантовой механике. Их свойства.

2.Свойства собственных функций и собственных значений физических операторов.

3.Физический смысл собственных значений и собственных функций физических операторов.

Задача 1. Найти собственные функции и собственные значения оператора	^
	Lz , записанного в

сферических координатах.

Решение. Запишем уравнение для собственных значений и собственных функций оператора ^

^
Lz (') = Lz ('):
Подставляя явный вид оператора, получим
ih	d	(') = Lz ('):			(1)

	d'
Решение (1) имеет вид
			L
(') = C exp i			z	' :	(2)
(') = C exp i			h	' :	(2)

Данная функция является непрерывной и конечной. Условие однозначности (') = (' + 2 ) позволяет найти спектр собственных значений Lz . Из этого условия и вида собственной функции

(2) получаем

exp i

2 = 1;

откуда определяем спектр собственных значений оператора:

Lz = hm;

m = 0; 1; 2; : : : ; 1:

(3)

Таким образом, спектр собственных значений оператора Lz дискретный.

Найдем входящую в выражение (2) константу C из условия нормировки

m(') m0 (') d' = mm0 :

Получаем 2 jCj

= 1. Таким образом, собственные функции оператора Lz имеют вид

eim':

(4)

m(') =

Задача 2. Найти собственные функции и собственные значения оператора

Px.

Решение. Уравнение для собственных значений и собственных функций оператора Px

Px'(x) = Px'(x);

или, в явном виде:

d'(x)

= Px'(x):

(5)

Решение этого уравнения имеет вид

'(x) = C exp i

x :

(6)

Данная функция удовлетворяет условиям непрерывности, однозначности и конечности при лю-

бых вещественных Px. Таким образом, спектр собственных значений оператора Px непрерыв-

íûé.

Найдем константу C из условия нормировки

'Px (x)'Px 0 (x) dx = (Px Px0):

Отсюда следует, что 2 hjCj

= 1. Тогда собственные функции оператора

Px имеют вид

'Px (x) =

exp

x :

(7)

2 h

Задача 3. Показать, что функции, получающиеся в результате действия операторов L

Lx iLy на собственные функции

m оператора проекции момента на ось z (Lz

m = hm m), также являются собствен-

ными функциями оператора

, но отвечающими другим собственным значениям.

m. Вычислим коммутатор

Решение. Обозначим 'm = L

hL^ ; L^z i = hL^x; L^z i i hL^y ; L^z i = h L^x iL^y = h L^ :

Отсуда следует

L^z L^ = L^ L^z h :

(8)

íà 'm. Если в результате получим ту же функцию, умноженную

Подействуем оператором Lz

на константу, то 'm, òàê æå êàê è

m, будет собственной функцией оператора Lz . С учетом (8)

получаем

^	^ ^	^
^	^ ^	^		^	m = h(m 1)'m :
Lz 'm = Lz L m = L			Lz h		m = h(m 1)'m :
Отсюда следует	^
	^			Lz = h(m 1);		(9)
	Lz 'm = Lz 'm;			Lz = h(m 1);		(9)
что и требовалось показать.
Таким образом:			^
	à)		^		m+1;
	à)	'm = L+ m =			m+1;
	á)		^		m 1:
	á)	'm = L m =			m 1:
		^			^

Задача 4. Найти операторы скорости ~v и ускорения w~ (в Шредингеровском представлении)

нейтральной частицы с отличным от нуля спиновым магнитным моментом (например, ней-

трона), находящейся в магнитном поле.

Решение. Запишем оператор Гамильтона для частицы в магнитном поле

			^2
H^	=		P	n B;~ ~^ ;
		2m0
ãäå n магнитный момент нейтрона,	~		вектор индукции магнитного поля,
	B

Паули.

(10)

^ оператор

Оператор скорости частицы определяется как полная производная по времени оператора координаты (радиус-вектора). Поскольку оператор координаты явно от времени не зависит, его полная производная по времени выражается только через квантовые скобки Пуассона

d~r

~r^i

~v^ =

hH;^

P^2 ~r^ ~r^ P^2 :

(11)

2m0

С учетом того, что

+ @y2

+ @z2 !

è ~r^ = ~r = ~exx + ~ey y + ~ez z;

P^2 = h2

@x2

находим для произвольной

^2^

= h

, откуда коммутатор

^ ^ ^2

= h

2r:

: P ~r

2r +~rP

~r ~rP

Подставляя последнее выражение в (11), находим оператор скорости

~v^

ihr

(12)

Теперь найдем оператор ускорения частицы, который равен полной производной по вре-

мени от оператора скорости

dv^

w^j =

hH;^ v^j i :

h i

Подставляя в это выражение оператор Гамильтона (10) и учитывая то, что коммутаторы ^2

P ; v^j =

h i

(изменение порядка дифференцирования не меняет результат) и ^ 0 ^k ; Pj

^ действуют на разные переменные), получаем

w^j = i n ^ h m0 k

или, с учетом явного вида оператора

hBk ; P^j i =			i n			^k Bk P^j P^j Bk ;
hBk ; P^j i =			h		m0	^k Bk P^j P^j Bk ;
^
Pj ,
w^j =	n	^k		@Bk			:
w^j =	m0	^k		@xj			:

= 0 (операторы ^k è

(13)

Задача 5. Пусть гамильтониан системы зависит от параметра	^
	è H( ) j ( )i = E j ( )i.

Показать, что для нормированных на единицу векторов j ( )i имеет место соотношение

	@	= *		( )	^	( )+ :
	@	= *		( )	@	( )+ :
	@E( )				@H

Решение. Продифференцируем уравнение			Шредингера
Решение. Продифференцируем уравнение

H( ) j ( )i = E( ) j ( )i

по параметру . Получаем

j ( )i + H^ E

j ( )i =

j ( )i :

Умножим скалярно уравнение (14) на h

( )j.

Òàê êàê h ( )j ( )i = 1, òî

( )

= *

( )+

( )

H^ E

( )

Поскольку оператор ^

самосопряженный, то справедливо

( )

H^ E

( ) =

E ( )

+ @

@ j ( )i = 0:

Тогда из (15) получаем

( )

= *

( )+

;

@E( )

что и требовалось доказать.

Список задач для самостоятельного решения (здесь и далее задачи взяты из [2]):

1.1; 1.2; 1.3; 1.5; 1.6; 1.7; 1.13; 1.19; 1.20; 1.24; 1.25.

(14)

(15)

(16)

II. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Контрольные вопросы

1.Корпускулярно-волновой дуализм. Формула Планка и соотношение де Бройля.

2.Уравнение Шредингера. Волновая функция и ее интерпретация.

3.Найти выражение для плотности потока вероятности.

Задача 6. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных состояний в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a:

U (x) =	0;	0 x a	:
	1; x < 0; x > a

Решение. Запишем стационарное уравнение Шредингера. Для области 0 x a оно примет

âèä

	h2 d2 (x)	= E (x):	(17)
	2m0 dx2

Вне ямы, там где потенциальная энергия бесконечна, частица находиться не может: (x) = 0 ïðè x < 0 èëè x > a. Отсюда в силу непрерывности волновой функции получаем граничные

условия для уравнения (17):

(0) = 0;

(a) = 0:

Уравнение (17) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения имеет вид

(x) = A cos(kx) + B sin(kx);

где введено обозначение k = 2m0E=h. Константы A, B, а также допустимые значения k подле-

жат определению из граничных условий и условия нормировки

(x) (x) dx = 1:

Из граничного условия при x = 0 следует A = 0. Из граничного условия при x = a получаем спектр возможных значений k : fkn = n=a; n = 1; 2 : : : 1g, и, следовательно, спектр энергий

частицы в яме имеет вид

	h2 2n2
En =	2m0a2 ; n = 1; 2; : : : ; 1:

Из условия нормировки определяем константу B = p2=a. Таким образом, состояния частицы в

яме описываются следующими волновыми функциями:


n(x) = r	a	sin	a x		; n = 1; 2; : : : ; 1:
2				n

Задача 7. Найти уровни энергии в потенциальной яме конечной глубины:

>1; x < 0

<	0;	x > a:
U (x) =	U0;	0 x a
>
:

Решение. Потенциальная энергия является кусочно-постоянной функцией. Поэтому уравнение Шредингера удобно решать отдельно для каждой области посто-

янного значения потенциальной энергии (см. рис.1), производя затем сшивку решений в соседних областях:

1(x) = 0; в первой области (x < 0; ) поскольку U (x) = 1;

h2 d2

2(x)

U0 2(x) = E 2

(x);

2m0

dx2

во второй области (0 x a);

h2 d2

3(x)

= E 3(x); в третьей области (x > a):

2m0

dx2

На границах областей волновая функция непрерывна, а на границе второй и третьей областей (в точке x = a) непрерывна также и первая производная волновой функции, поскольку потенци-

альная энергия конечна:

1(0) =		2(0) = 0;			2(a) =		3(a);
	d 2(x)		x=a	=	d 3(x)	x=a	:	(18)
	dx		x=a	=	dx	x=a	:	(18)

Дискретный по энергии спектр состояний реализуется в случае финитного (ограниченного) движения частицы, то есть при E < 0. В случае E > 0 движение инфинитно и спектр энергии непрерывен. Рассмотрим состояния частицы с E < 0.

Поскольку волновая функция конечна, должно выполняться

	3(x ! +1) ! 0:							(19)
Уравнения Шредингера во второй и третьей областях являются линейными ОДУ с по-
стоянными коэффициентами. Обозначив
= q			=h; k = q				=h;	(20)
	2m0(U0 jEj)				2m0jEj
запишем решение этих уравнений в виде
	2(x) = A2 cos( x) + B2 sin( x);
	3(x) = A3e kx + B3ekx:							(21)
Используя граничные условия (18) и условие (19), находим, что в (21) константы A2 =
B3 = 0, а для констант B2 è A3 справедлива система уравнений
( cos( a)B2		+		ke kaA3	=	0:
	sin( a)B2			e kaA3	=	0		(22)

Система (22) является однородной системой линейных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение лишь в том случае, когда определитель системы равен нулю. Приравнивая нулю определитель системы (22), получим

ctg( a) =	k	:	(23)

2m0U0a=h < 1

Поскольку и k посредством соотношений (20) однозначно связаны с энергией, выражение (23) является уравнением для нахождения спектра энергий. Из (20) получаем k 2 + 2 =

2m0U0=h2, тогда (23) можно переписать в виде:
a = s		a sin( a):	(24)
a = s	h2	a sin( a):	(24)
	2m0U0

Решение трансцендентного уравнения (24) относительно задает энергетический спектр состояний частицы в яме. Будем решать это уравнение графически. Введем функции y1( a) è

y2( a):	p
y1( a) =		2m0 U0	a sin( a)

( y2( a) = a:h

Построив графики этих функций (рис.2), решение уравнения (24) найдем как абсциссы точек пересечения графиков f n; n = 1; 2 : : : N g (за исключением начала координат). Из (20) получаем, что энергия n-ого состояния связана с n соотношением

h2 2

jEj = U0 2m0 an2 :

Следует отметить, что количество состояний частицы в яме (количество корней уравнения (24)) конечно и определяется величиной p2m0U0a=h. В частности, при p

стационарных состояний нет.

Задача 8. Найти долю отраженных частиц R при прохождении потока частиц над одномерным потенциальным барьером (E > U0)

U (x) = (	0;	x	0:
	U0;	x > 0

Решение. Доля отраженных частиц равна отношению плотности потока вероятности отраженных частиц jr к плотности потока вероятности падающих ji:

R= jr : ji

Плотность потока вероятности связана с волновой функцией частицы соотношением

j =	ih	(x)	d (x)	(x)	d (x)	:
	2m0		dx		dx

Îñü Ox разобьем на две области: 1 - (x < 0) è 2 - (x > 0) (рис.3), в которых потенциальная

энергия однородна. Запишем стационарное уравнение Шредингера для двух этих областей:

	h2 d2			1(x)	= E 1(x); (x < 0);
	2m0			dx2

	h2 d2			2(x)	+ U0 2(x) = E 2(x); (x > 0):	(25)
	2m0			dx2

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (25) с постоянными коэффи-

циентами может быть записано в виде
			1(x) = A1eik1x + B1e ik1x;
			2(x) = A2eik2x + B2e ik2x;					(26)
ãäå
					k2 = q	2m0(E U0)	=h:
k1 =		2m0E=h;			k2 = q	2m0(E U0)	=h:
	p		e	ikx	описывает движение частиц в положительном на-
Так как волновая функция			e		описывает движение частиц в положительном на-

правлении оси x (j > 0), à e ikx в отрицательном направлении (j < 0), òî A1eik1x описывает поток падающих на барьер частиц;

B1e ik1x поток отраженных частиц; A2eik2x поток прошедших частиц.

Поскольку за барьером (при x > 0) не может быть частиц, движущихся в отрицательном направлении оси Ox, òî B2 = 0.

Из условия непрерывности волновой функции и ее производной в точке x = 0 получаем

систему уравнений для определения неизвестных констант
( A1				B1		= (k2=k1)A2:				(27)
A1	+			B1		= A2

Исключая из (27) константу A2, находим
		B1		=	1	k2=k1		:
				=		k2=k1		:
		A1			1	+ k2=k1
Таким образом, коэффициент отражения равен
R =			jB1j2		=		(k1 k2)2		:	(28)
			jA1j2				(k1 + k2)2

Задача 9. Найти зависимость тока холодной эмиссии электронов с поверхности металла от

приложенного электрического поля E. Силой электрического изображения пренебречь.

Решение. Электрон проводимости в металле свободен. На границе металла имеется потенциальный барьер высотой U0, который создается кулоновским взаимодействием ионного остова с электронами. Высота барьера U0 может быть представлена в виде суммы

U0 = A + EF ;

ãäå A работа выхода электрона из металла, EF энергия Ферми. (Для разных металлов A = 2 4 ýÂ, EF 5 эВ.) Если к металлу приложено электрическое поле E, то энергия электрона

вне металла (рис.4) может быть записана в виде:

U (x) = U0 eEx:

(29)

Для электронов с энергией E ширина потенциального барьера (области с потенциальной энергией больше E) составляет величину

U0 E

(30)

Прозрачность такого барьера определяется выражением

dx1

(31)

D = D0 exp

2me

U (x)

Подставив в (31) распределение потенциала (29) и вычислив интеграл с учетом (30) для верхнего

предела, находим

ehE

D = D exp

4 p

(U0

E)3=2

(32)

Так как плотность тока холодной эмиссии j D, òî

ãäå

(U0 E)3=2

(33)

j(E) = j

exp

;

e eh

Задача 10. Состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a (0 < x < a) описывается волновой функцией (x) = Ax(x a). Найти распределение вероятностей

различных значений энергии частицы и среднее значение энергии.

Решение. Распределение вероятностей значений энергии определяется выражением

Wn = jCnj2;		ãäå
a
Cn = Z	n(x)	( x)dx:	(34)
0

Здесь Cn волновая функция в энергетическом представлении;


n(x) = r	a	sin	a x
2				n

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015513.48 Кб36каминер ich mach mir sorgen,mama.pdf
#
23.03.2015156.14 Кб147Каролина 1532 года.docx
#
15.09.2019133.12 Кб3касамара-сорокина.doc
#
29.09.2019556.54 Кб16Кате.doc
#
08.03.20163.29 Mб31кацва3.pdf
#
08.03.2016205.69 Кб85КвантМех Методичка.pdf
#
26.04.2019135.17 Кб8кл психол на госэкзамен 2012.doc
#
25.09.2019153.85 Кб10Колесов В.docx
#
15.09.2019561.66 Кб55Коллекция шаров.doc
#
01.12.2018350.21 Кб17коллигат свойст метод раз.doc
#
13.11.2018274.94 Кб10Коллоквиум №1 Науки о земле.doc