КвантМех Методичка

собственные функции оператора Гамильтона для частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме; n = 1; 2; : : : 1. Величина Wn есть вероятность обнаружения в системе энергии En, ãäå

С учетом выражения для нормировочной константы находим вероятность обнаружения значения энергии En

11

III. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ Контрольные вопросы

1.Оператор момента импульса, его коммутационные свойства.

2.Собственные функции и собственные значения операторов проекций момента импульса и квадрата момента импульса.

3.Разделить переменные в уравнении Шредингера для водородоподобного атома.

Задача 11. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного ротатора с моментом инерции I.

Решение. Пространственный ротатор представляет собой систему с двумя степенями свободыуглами # è '. Запишем уравнение Шредингера для квантового пространственного ротатора. Функция Гамильтона классического пространственного ротатора H = L2=2I. Заменяя динамиче- скую переменную L2 оператором, записываем оператор Гамильтона для квантового ротатора:

Решение уравнения (40) известно. Спектр собственных значений дискретный L2 = h2l(l + 1), квантовое число l принимает значения l = 0; 1; 2; : : : 1. Собственные функции определяются

двумя квантовыми числами

ãäå m = l; (l 1); : : : ; l; Pljmj присоединенные полиномы Лежандра.

Сравнивая (39) и (40), приходим к выводу, что (41) есть волновые функции стационарных состояний пространственного ротатора, а энергия состояний есть El = h2l(l + 1)=(2I). Энергети- ческие уровни вырождены. Кратность вырождения fl = 2l + 1:

Задача 12. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора с потенциальной энергией U (r) = kr2=2, используя метод разде-

ления переменных в уравнении Шредингера в декартовых координатах. Определить кратность вырождения уровней.

Решение. Запишем уравнение Шредингера для сферического осциллятора в декартовых координатах ~r = fx; y; zg:

Метод разделения переменных основан на представлении искомой функции в виде произведения нескольких функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной: (x; y; z) =

12

Энергия стационарного состояния E постоянная величина. Таким образом, сумма трех слага-

емых в левой части (43), каждое из которых зависит от своей независимой переменной, равна константе. Такое возможно, если каждое из слагаемых в левой части уравнения (43) равно константе. Поэтому уравнение (43) разделяется на три уравнения:

которая зависит от квантового числа n = nx + ny + nz .

Поскольку состояния осциллятора (волновые функции) определяются тремя квантовыми числами nx, ny , nz (48), а энергия системы зависит лишь от их суммы n (49), энергетические уровни осциллятора вырождены. Определим кратность их вырождения fn. При фиксированном n квантовое число nx может меняться в пределах от 0 äî n. При фиксированных n è nx квантовое число ny может меняться в пределах от 0 äî n nx (иначе сумма квантовых чисел будет больше чем n). При фиксированных n, nx è ny последнее квантовое число nz принимает лишь

13

одно фиксированное значение nz = n nx ny . Каждое состояние (набор чисел nx, ny , nz ), соответствующее одному и тому же n, прибавляет единицу к кратности вырождения уровня fn. Поэтому fn есть сумма

Задача 13. Найти условие существования дискретного спектра состояний частицы в поле

Решение. Дискретный спектр состояний существует тогда, когда при заданных параметрах (U0, a, m0 масса частицы) уравнение Шредингера имеет решение с отрицательной энергией E < 0

(частица локализована в яме). Найдем такие решения. Поскольку потенциальная энергия частицы есть кусочно-постоянная функция (рис.5), будем решать уравнение Шредингера отдельно в области 1 (r < a) и в области 2 (r a), производя затем сшивку решений дифференциальных уравнений на границе областей (в точке r = a):

для первой и второй областей соответственно. Из уравнений (51) получаем общее решение для функций R1(r) è R2(r):

R1(r) = A1 cos( r) + B1 sin( r);

ãäå A1, A2, B1 è B2 константы.

14

Из условия ограниченности волновой функции и (53) получаем, что должно выполняться R1(r ! 0) ! 0, следовательно, A1 = 0. Из этого же условия следует, что R2(r ! 1) ! 0, откуда

B2 = 0.

На границе рассматриваемых областей (в точке x = a) потенциальная энергия конечна,

поэтому непрерывной является как волновая функция, так и ее производная. Следовательно,

Из (55) и (54) получаем систему уравнений для определения B1 è A2:

(

Система (55) является однородной системой линейных алгебраических уравнений и имеет нетривиальное решение лишь в том случае, когда определитель системы равен нулю. Приравнивая определитель системы (56) нулю, получаем

Трансцендентное уравнение (57) может быть решено графически (задача 7). Количество решений уравнения (57) соответствует количеству стационарных состояний частицы в яме. Условие существования хотя бы одного решения (s-состояния), а следовательно, и состояний дискрет-

Задача 14. Найти вероятность пребывания электрона в классически запрещенной области для

водородоподобного атома в основном состоянии.

Решение. Классически запрещенная область для электрона область r > a, ãäå a боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в области r > a определяется интегралом

Здесь 100(r) волновая функция электрона в основном состоянии

15

Интеграл в (61) берем по частям. В результате находим, что вероятность пребывания электрона в классически запрещенной зоне равна

В частности, для атома водорода (Z = 1) W 0:68.

Задача 15. Найти средний потенциал '(r), действующий на заряженную частицу, пролета-

ющую сквозь невозбужденный атом водорода (поляризацией атома пренебречь).

Решение. Волновая функция атома водорода в основном состоянии имеет вид

Плотность электрического заряда в атоме создается ядром и электронной оболочкой

Так как распределение заряда сферически симметрично, для определения создаваемого им электрического поля удобно использовать теорему Гаусса. Выбирая поверхность интегрирования в виде сферы радиуса r с центром в ядре, получаем выражение для напряженности электрического поля E(r)

где выражение в правой части (65) есть электрический заряд внутри выбранной сферы, деленный на абсолютную диэлектрическую проницаемость. Подставив (63) в (65) и посчитав интегралы, получаем

Для определения потенциала электрического поля используем теперь его связь с напряженностью E(r) = d'(r)=dr и условие '(r ! 0) ! 0 для определения константы интегрирования. Тогда

потенциал электрического поля выражается через интеграл

Подставив (66) в (67) и посчитав интеграл, получаем искомый потенциал электрического поля атома водорода в основном состоянии

Список задач для самостоятельного решения:

4.1; 4.2; 4.23; 4.29; 4.30; 4.33; 4.40.

IV. СПИН Контрольные вопросы

1.Экспериментальные доказательства существования спина.

2.Найти вид оператора спина.

3.Оператор полного момента импульса атома.

4.Спинорбитальное взаимодействие. Оператор спинорбитального взаимодействия.

16

Задача 16. Для частицы со спином s = 1=2 найти собственные функции и собственные зна-

чения оператора x-проекции спина.

Решение. Для частицы с полуцелым спином оператор x-проекции

Найдем собственные функции. При Sx = h=2 из (70) получаем a = b; ïðè Sx = h=2 a = b. Системой (70) собственные функции (векторы) определены с точностью до константы

Задача 17. Исследовать характер спиновых состояний для двух частиц с полуцелым спином,

описываемых симметричными и антисимметричной спиновыми функциями.

Решение. Пусть 0(Sz ) è 00(Sz ) спиновые функции соответственно для первой и второй частиц, описывающие спиновые состояния с проекцией спина Sz .

Симметричные спиновые функции для системы двух частиц:

Антисимметричная спиновая функция:

Найдем собственные значения оператора

^ ^ 0 ^ 00

Sz = Sz + Sz ;

17

ãäå ^ 0 è ^ 00 -проекции оператора спина, действующие соответственно на спиновые функции

Sz Sz z

первой и второй частиц:

то есть собственное значение оператора проекции суммарного спина в данном случае равно нулю Sz = 0. Следовательно, z-проекция суммарного спина системы двух частиц, описываемой симметричной функцией (1)s , равна нулю. Чтобы исследовать данное спиновое состояние, найдем

собственное значение оператора квадрата полного спина

Таким образом, (1)s описывает спиновое состояние, соответствующее параллельной ориентации спинов частиц, с суммарной проекцией Sz = 0.

Б. Рассмотрим состояния, описываемые (2)s è (3)s . Используя явный вид операторов и

спиновых функций (77), находим

Таким образом, (2)s è (3)s описывают состояния с параллельной ориентацией спинов частиц, с z-проекцией полного спина Sz = h è h соответственно.

В. Рассмотрим состояние системы двух частиц, описываемое антисимметричной спиновой

то есть данная спиновая функция описывает состояние с антипараллельной ориентацией спинов частиц так, что суммарный спин системы равен нулю.

Список задач для самостоятельного решения:

5.1; 5.2; 5.3; 5.5; 5.29; 5.30; 5.45.

18

V. ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Контрольные вопросы

1.Записать гамильтониан для заряженной бесспиновой частицы в магнитном поле.

2.Уравнение Шредингера для атома в магнитном поле.

3.Уравнение Паули.

Задача 18. Найти расщепление уровней энергии атома водорода в сильном однородном маг-

~

нитном поле B = f0; 0; Bg (нормальный эффект Зеемана).

Решение. Случай сильного магнитного поля реализуется, если потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома с магнитным полем много больше энергии спин-орбитального взаимодействия.

В этом случае гамильтониан имеет вид

19

VI. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Контрольные вопросы

1.Постановка задачи.

2.Теория возмущений в отсутствии вырождения.

3.Теория возмущений при наличии вырождения.

4.Область применимости теории возмущений.

Задача 19. На заряженный линейный осциллятор наложено однородное электрическое поле ~ ,

E

направленное вдоль оси колебаний. Рассматривая электрическое поле как возмущение, рассчи- тать методом теории возмущений второго порядка сдвиг энергетических уровней осциллятора. Результат сравнить с точным решением.

Решение. Поскольку энергетический спектр гармонического осциллятора не вырожден, используем вариант теории возмущения в отсутствии вырождения. С точностью до второго порядка по возмущению энергия системы при наличии малого возмущения равна

энергии невозмущенных состояний системы. Для гармонического осциллятора En(0) = h!0(n + 12 ).

Возмущением в рассматриваемом случае является потенциальная энергия взаимодействия заряженной частицы (осциллятора) с электрическим полем. Поскольку поле направлено

элементы оператора возмущения равны Wmn = eExmn, где матричные элементы координаты

для гармонического осциллятора имеют вид

Рассмотрим первый порядок теории возмущений. Поскольку диагональные матричные элементы оператора координаты (84) равны нулю,

Ek(1) = Wkk = eExkk = 0:

Второй порядок теории возмущений

20