Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КвантМех Методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

205.69 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Принимая во внимание,что

k; n 1 n; k 1	=	n; n 2 = 0;	k; n+1 n; k 1
k; n 1 n; k+1	=	n; k+1;	k; n+1 n; k+1

=n; k 1;

=n; n+2 = 0;

получим


(2)		e2E2	X6		(k + 1) n; k+1 + k k; n+1				=
Ek = 2 !2						k		n
	0		n=k

	e2E2			k + 1				k
=						+
	2 !02			k (k + 1)			k (k 1)

Âрезультате поправка второго порядка имеет вид

(2)e2E2

Ek = 2 !02 :

Суммируя члены ряда возмущений (83), находим энергетические уровни возмущенных состояний осциллятора

(2)

k + 21

e2E2

(86)

= h!

2 !02

Уравнение Шредингера для линейного заряженного осциллятора в электрическом поле

допускает точное решение. Запишем это уравнение

2 dx2

eEx!

(x) = E (x):

(87)

h2 d2 (x)

!2x2

Сделаем замену переменных = x (eE)=( !02 ). Тогда уравнение Шредингера (87) примет вид

	h2 d2 ( )			!2	2
			+	0			( ) = E0 ( );		(88)
2 d 2			+	2			( ) = E0 ( );		(88)
2 d 2				2
ãäå						e2E2
		E0	= E +			e2E2		:
		E0	= E +			2 !2		:
						0

Уравнение (88) совпадает со стандартным уравнением Шредингера для линейного гармоническо-

го осциллятора. Спектр энергий E0	= h!0(k +	1 ), откуда следует точное значение энергетических
k		2
уровней осциллятора в электрическом поле
			e2E2
		2
		2	2 !02
	Ek = h!0 k + 1			;	(89)

что в точности совпадает с результатами теории возмущений (86). Вывод: в данном случае теория возмущений дает точное решение.

Список задач для самостоятельного решения:

8.1; 8.3; 8.9; 8.11.

(osc) ,

nx (x)

(osc) ,

ny (y)

VII. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ Контрольные вопросы

1.Постановка задачи.

2.Вероятности переходов в дискретном спектре состояний под влиянием возмущений, зависящих от времени.

Задача 20. Указать, между какими уровнями заряженного сферического гармонического осциллятора возможны электромагнитные переходы в дипольном приближении. Вычислить время жизни первого возбужденного состояния осциллятора в этом приближении.

Решение. Правило отбора для дипольного излучения сферического осциллятора определяется ненулевыми значениями матричного элемента дипольного момента. Для сферического осциллятора волновая функция имеет вид (задача 12)

ãäå

åò âèä

nx ny nz (x; y; z) =	(osc)	(x)	(osc)	(y)	(osc)	(z);
	nx		ny		nz

(osc)(z) волновые функции линейного гармонического осциллятора.

Матричный элемент дипольного момента для сферического осциллятора с зарядом e èìå-

Dnx ny nz ;mx my mz = e nx ny nz (x; y; z) ~r mx my mz (x; y; z) dxdydz =

= ~exDnxx ny nz ;mx my mz + ~ey Dnyx ny nz ;mx my mz + ~ez Dnz x ny nz ;mx my mz ;

(90)

ãäå

Dnxx ny nz ;mx my mz = exnx mx ny my nz mz ;

Dnyx ny nz ;mx my mz = eyny my nx mx nz mz ;

Dnz x ny nz ;mx my mz = eznz mz nx mx ny my :

Матричный элемент координаты имеет вид

xnm = x0

2 n; m 1 + r

! :

(91)

n; m+1

m + 1

Поэтому Dn(ix)ny nz ;mx my mz 6= 0, åñëè mi = ni 1, ãäå i = x; y; z.

Отсюда следует, что ненулевые вероятности перехода имеют место для соседних уровней

En Em

= !

m) =

;

(92)

ãäå n = nx +ny +nz , m = mx +my +mz . Таким образом, излучение и поглощение для сферического

осциллятора наблюдается на собственной частоте.

Время жизни первого возбужденного состояния = 1=A01 , ãäå A01 коэффициент Эйн-

штейна спонтанного перехода с первого возбужденного состояния

A01 =	g0	!03		jD100;000 j	2	:
	g1		3 hc3"0

Кратность вырождения основного состояния для сферического осциллятора g0 = 1, первого возбужденного состояния g1 = 3 (задача 12). Из (91), (92) получаем матричный элемент дипольного

момента D100;000 =

h=(2m

)

; коэффициент Эйнштейна и время жизни первого возбужден-

ного состояния

1 e2!0

; =

18 c3

"0m0

(93)

A01

18 c3"0m0

e2!0

Задача 21. Двухуровневая система с состояниями j1i è j2i, энергии которых есть h!1 è h!2,

подвергаются действию не зависящего от времени малого возмущения W . Вычислить в пер-

вом порядке теории возмущения вероятность обнаружить то или иное состояние в момент

времени t, если в момент времени t = 0 система находилась в основном состоянии.

Решение. Изменение состояния системы при действии на нее возмущения описывается нестационарным уравнением Шредингера

ih	@ j i	= H^	j		i	+ W^	j		i	(94)
	@t		j		i		j		i

с начальным условием j it=0 = j1i.

В отсутствии возмущения состояние системы описывается стационарными уравнениями

H j1i = h!1 j1i ;

H j2i = h!2 j2i :

Запишем (94) в энергетическом представлении

@ h1j i

;

@ h2j i

(95)

Поскольку h1j 2i = 0 è h1j 1i = h2j 2i = 1, то для текущего состояния частицы справедливо представление j i = C1 j1i + C2 j2i, ãäå C1 = h1j i ; C2 = h2j i зависящие от времени коэф-

фициенты. Тогда уравнения (95) преобразуются к виду

dC1	= i	h!	1 + W11	C1 i	W12	C2;
dt	= i		h	C1 i	h	C2;
dC2	= i	h!	2 + W22	C2 i	W21	C1;	(96)
dt	= i		h	C2 i	h	C1;	(96)

ãäå Wmn = hmj W jni матричные элементы оператора возмущения по стационарным состояниям

системы. Начальные условия для системы (96) следующие: C1(t = 0) = 1, C2(t = 0) = 0.

Введем обозначения

W11

W22

1 = !1 +

;

= !2 +

;

!12

W12

;

!21

W21

Тогда система (96) перепишется в виде

dC1

+ i 1

= i!12 C2;

dC2

+ i 2

= i!21 C1:

(97)

Систему уравнений (97) будем решать методом последовательных приближений. Нулевое приближение выберем из условия

dC1(0)	(0)
	+ i 1C1	= 0;
dt	+ i 1C1	= 0;
dt

òàê êàê ïðè t ! 0, C2(t) ! 0. Отсюда находим C1(0) = e i 1 t. Подставляя C1(0) во второе из уравнений (97), получаем для первого приближения C2

dC2(1)	+ i	C	(1)	=	i!		e i 1t:	(98)
dt
	2		2			21

Решение уравнения (98) ищем в виде C2(1) = b(t)e i 2 t. Для неизвестной функции b(t) èç (98)

получаем

db(t)	= i!21ei( 2 1 )t:	(99)
dt

Интегрируя (99) от 0 äî t с учетом граничных условий (C2(0) = 0), находим для первого прибли-

жения	= 2 1		e i 1 t e i 2 t :	(100)
C2
(1)		!21

Вероятности того, что квантовая система будет находиться в состоянии j2i è j1i, равны соответ-

ственно

(1)

!21 2

(1 cos( 1 2)t) ;

(101)

( 2

1)2

= 1

W2:

Список задач для самостоятельного решения:

8.23; 8.24; 8.26; 14.1; 14.2; 14.4; 14.5; 14.8.

VIII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ Контрольные вопросы

1.Принцип тождественности одинаковых микрочастиц.

2.Симметричные и антисимметричные состояния.

3.Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули.

Задача 22. Два тождественных бозона со спином s = 0 связаны потенциалом U = k(~r1 ~r2)2=2.

Каков энергетический спектр системы?

Решение. Задача решается в системе центра масс ~r = ~r2 ~r1. Запишем уравнение Шредингера

h2			k	x2 + y2 + z2
	r2	(x; y; z) +			(x; y; z) = E (x; y; z);	(102)
2			2

где приведенная масса. Задача решается методом разделения переменных. Представим ис-

комую волновую функцию в виде произведения

nx ny nz (x; y; z) =

(osc)

(x)

(osc)

(y)

(osc)

(z);

ãäå

(osc)

волновая функция линейного гармонического осциллятора:

(osc)

e 2

(103)

( ) = p

Hn( );

ãäå

= x=a; Hn( ) полиномы Эрмита. Из свойств полиномов Эрмита известно Hn( ) =

( 1)nHn( ), то есть функции являются четными при n четном и нечетными при n нечетном.

Волновая функция для двух бозонов

nx ny nz (x1; y1; z1; x2; y2; z2) =	(osc)	(x1 x2)	(osc)	(y1 y2)	(osc)	(z1 z2):	(104)
	nx		ny		nz

Полная энергия системы En = h!0(n + 32 ), ãäå n = nx + ny + nz . Поскольку рассматриваемые

частицы являются тождественными бозонами, то описывающая их состояние волновая функция (104) должна быть симметричной относительно перестановки координат частиц. Принимая во внимание свойства четности для полиномов Эрмита, делаем вывод, что nx ny nz (~r1; ~r2) будет сим-

метричной в том и только в том случае, когда сумма nx + ny + nz	является четной. Поэтому
энергетический спектр двух тождественных бозонов
En = h!0(n + 3 ); n = 0; 2; 4; : : :	(105)
2
Список задач для самостоятельного решения:
10.1; 10.6; 10.11.

IX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ Контрольные вопросы

1.Постановка задачи. Дифференциальное сечение рассеяния.

2.Метод Борна в теории упругого рассеяния.

3.Метод парциальных волн в теории рассеяния.

Задача 23. Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частицы на частице (в системе центра масс).

Решение. В первом борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния определяется выражением

d = jA( )j2 ;


				A( ) =			Z	U (r)ei(K~ ~r) d~r:	(106)
				A( ) =		2 h2	Z	U (r)ei(K~ ~r) d~r:	(106)
Здесь A( ) амплитуда рассеяния,					U (r) потенциал взаимодействия,				приведенная мас-
	~		p
ñà,	~	~n),	p	2 E=h,	~n0 è ~n орты, определяющие направления движения
ñà,	K = k(~n0	~n),	k =	2 E=h,	~n0 è ~n орты, определяющие направления движения

падающих и рассеянных частиц.

При рассеянии частицы на частице имеем

Z2 e2 U (r) = ;

4 "0r

ãäå Z = 2 заряд частицы. Тогда для амплитуды рассеяния (106) получаем

Z2 e2 Z

A( ) = 2 2 h 4 "0

ei(K ~r)

d~r: (107)

Для подсчета интеграла (107) воспользуемся аналогией из электростатики. Запишем потенциал электрического поля

	1		~ ~0	)
			ei(K r
'(~r) =		Z			dr~0:
	4 "0		j~r r~0j

Данное выражение описывает распределение потенциала, создаваемого распределением заряда

(r~0) = exp(i(K~

r~0)). Потенциал '(~r) должен удовлетворять уравнению Пуассона

'(~r) =

ei(K ~r)="0

. Решение этого уравнения имеет вид

'(~r) = ei(K ~r)=("0K2). Следовательно, искомый

интеграл

)

ei(K

dr~0

= '(0) =

4 "0

"0K2

Поскольку K = 2k sin( =2), E = v2=2, ãäå v скорость частицы на бесконечности, (107)

запишем в виде

A( ) = 2		4 "0 v2	! sin2( =2) :		(108)
1		Z2 e2	1

Из (106) и (108) получаем, что дифференциальное сечение рассеяния частицы на

частице имеет вид

			Z2 e2	2
d	=	1	Z2 e2	!	1	формула Резерфорда.	(109)
d~	=	4	4 "0 v2	!	sin4( =2)	формула Резерфорда.	(109)

Сечение Резерфорда (109) расходится на малых углах рассеяния вследствие медленного убывания кулоновского потенциала при r ! 1.

Задача 24. В борновском приближении вычислить дифференциальное и полное сечение рассея-

ния на потенциале Юкавы

U (r) = ar exp Rr :

Решение. В первом борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния имеет вид

= jA( )j2 ;

ãäå

A( ) =

U (r)ei(K~ ~r) d~r

(110)

2 h2

амплитуда рассеяния;

K = 2k sin( =2),

угол рассеяния в системе центра масс, k =

2 E=h.

Поскольку потенциал описывает поле центральных сил, то

A( ) =

d' Z

d cos # Z

r2U (r)eiKr cos # dr =

2 h2

	i	1
=	i	Z	rU (r)(eiKr e iKr ) dr:	(111)

	h2K
		0

Подставив в выражение для амплитуды рассеяния (111) потенциал Юкавы и вычислив интеграл, получим

2 aR2

(112)

A( ) =

h2(1 + K2R2)

Тогда дифференциальное сечение рассеяния

4 2a2R4

(113)

sin( =2))

(1 + 4k

Полное сечение рассеяния есть интеграл от дифференциального по всему телесному углу. Сделав в интеграле замену переменных, находим

		d					2k

= Z			d~		=		Z	jA(K)j2 dK2:
		d~				k2
4					0
Интегрируя последнее выражение с учетом (112), находим
	=				16 2a2R4					(114)
									:
				h2(h2 + 8 ER2)

Задача 25. Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле сферической потенциальной ямы

(		0	;	r > R
U (r) =		U0	;	r R

в условиях резонанса в s-волне.

Решение. Из фазовой теории рассеяния следует выражение для полного сечения рассеяния частицы

= 4 X(2l + 1) sin2( l); k2

			l
	2	1	U (r) sin kr	l	+ l sin(kr) dr;
k sin( l ) =	2	Z		l		(115)

	h2			2
		0

ãäå l фаза рассеяния, k = p2 E=h.

В условиях резонанса в s-волне наибольший вклад в сечение дает парциальное сечение с l = 0.

0 =

sin2( 0);

k sin( 0) =

U (r) sin(kr + 0) sin(kr) dr:

(116)

Подставляя в последнее выражение явно вид потенциала, получим

2 U

k sin( 0) =

sin(kr + 0) sin(kr) dr =

( 0):

(117)

Используя формулу для произведения синусов и формулы косинусов и синусов двойного угла, вычислим интеграл в правой части (117)

	cos(	)	R	sin(2kR)	+	sin(	)
I1( 0) =	0					0		(cos(2kR) 1) :	(118)
I1( 0) =	2			2k		4k		(cos(2kR) 1) :	(118)

Для медленных частиц kR 1, так как длина волны де-Бройля R. Тогда выражение (118)

упрощается		k2R3			(2kR)2
I1( 0)			cos( 0)			sin( 0 ):	(119)
		3			8k
Из (117) и (118) получаем уравнение для определения фазы рассеяния
1	h2	! sin( 0) =			h2	3 cos( 0):	(120)
	2 U0R2			2 U0R2 kR

Возведя уравнение (120) в квадрат и используя cos2( 0) = 1 sin2( 0), находим из него sin2( 0).

Тогда с учетом первого из соотношений (116) получаем формулу для полного сечения рассеяния частицы в условиях резонанса в s-волне

						4	"2R2		(121)
				0 =				;
				0 =		3	(1 ")2 + "2(kR=3)2	;
где введено обозначение " = 2 U0R2=h2.
Проанализируем полученный результат (121) для предельных случаев:
а) мелкая потенциальная яма " 1,
	0 =		4	"2R2	сечение не зависит от энергии частиц;
	0 =		9	"2R2	сечение не зависит от энергии частиц;
			9
б) глубокая потенциальная яма " 1,
0 =	4		R2		сечение слабо зависит от энергии (kR 1):
0 =	9	1 + (kR=3)2			сечение слабо зависит от энергии (kR 1):

Список задач для самостоятельного решения:

13.1; 13.13; 13.14; 13.34.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976.

2.Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.

3.Давыдов А.С. Квантовая механика. М.:ГИФМЛ, 1963.

4.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989.

5.Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.И. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.

6.Ферми Энрико. Квантовая механика: Конспект лекций. М., 1961.

7.Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

СОДЕРЖАНИЕ

I. ОПЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. СПИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 V. ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 VI. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 VII. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 VIII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IX. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Составители: Александр Евгеньевич Майер

Александр Павлович Яловец

Редактор В.Ф.Репецкая

Подписано в печать	. Формат 60x84	1	.
		16

Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,6. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз. Заказ . Бесплатно

Челябинский государственный университет. 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ. 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015513.48 Кб36каминер ich mach mir sorgen,mama.pdf
#
23.03.2015156.14 Кб147Каролина 1532 года.docx
#
15.09.2019133.12 Кб3касамара-сорокина.doc
#
29.09.2019556.54 Кб17Кате.doc
#
08.03.20163.29 Mб31кацва3.pdf
#
08.03.2016205.69 Кб85КвантМех Методичка.pdf
#
26.04.2019135.17 Кб9кл психол на госэкзамен 2012.doc
#
25.09.2019153.85 Кб10Колесов В.docx
#
15.09.2019561.66 Кб56Коллекция шаров.doc
#
01.12.2018350.21 Кб17коллигат свойст метод раз.doc
#
13.11.2018274.94 Кб10Коллоквиум №1 Науки о земле.doc