bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці за форму-

Аналогічно обчислюємо решту алгебраїчних доповнень:

A12 5; A13 1; A21 1; A22 1; A23 1; A31 4; A32 8; A33 4.

Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь

Маємо систему лінійних рівнянь AX B, в якій матриця A

має розмір m n. Така система називається сумісною, якщо ранг основної матриці A дорівнює рангу розширеної матриці. Розширену матрицю дістанемо, доповнивши матрицю A стовпцем вільних членів.

У разі, коли система сумісна і ранг матриць дорівнює n , система має єдиний розв’язок. Якщо ж у сумісній системі ранг r менший за кількість невідомих, система має безліч розв’язків. Щоб знайти їх, беремо r рівнянь, у лівій частині яких залишаємо r невідомих. Рівняння та невідомі беремо так, щоб мінор, складений з коефіцієнтів зазначених рівнянь, був відмінний від

нуля. Невідомі, залишені в лівій частині, називаються базисними. Решту невідомих переносимо у праву частину рівняння.

168

Ці невідомі називаються вільними.

Загальний розв’язок системи дістаємо, розв’язуючи систему відносно базисних невідомих. Їхні значення виражаються через вільні члени і вільні невідомі. Частинні розв’язки дістаємо, надаючи вільним невідомим певних числових значень. Базисний розв’язок системи маємо, якщо всі вільні невідомі дорівнюють нулю.

Довільну систему лінійних рівнянь можна розв’язувати за методом Жордана—Гаусса без попереднього дослідження сумісності системи. Якщо система несумісна, у деякій таблиці матимемо суперечність.

Після r кроків методу дістанемо загальний розв’язок системи. Щоб записати його, потрібно вільні невідомі треба перенести в праву частину рівнянь.

Задача 1.3. Дослідити та розв’язати систему рівнянь:

x1 3x2 2x3 x 4 2, 2x1 x 2 5x3 3x4 1, 4x1 5x2 x3 x 4 5.

Знайти загальний і базисний розв’язки системи.Основна матриця

Знайдемо її ранг: 1 r (A) 3. Застосуємо метод обвідних міно-

рів, відмінних від нуля. Кожний елемент матриці — мінор першого порядку. Елемент a11 1 0. Розглянемо мінори другого порядку,

які обводять його. У запису мінорів угорізазначенономери рядків, а внизу — номери стовпців, якіїхутворюють:

Отже, ранг матриці не менший за 2. Розглянемо мінори третього порядку:

169

Усі мінори третього порядку, які обводять відмінний від нуля мінор другого порядку, дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці A дорівнює двом.

Розглянемо розширену матрицю:

Її ранг не менший від 2.

Розглянемо ще один мінор третього порядку:

Отже, ранги основної та розширеної матриць однакові, система сумісна. Відмінний від нуля мінор другого порядку утворюють коефіцієнти при x1 та x2 першого і другого рівнянь:

x1 3x2 2 2x3 x4 ,

2x1 x 2 1 5x3 3x 4.

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера. Визначник системи D = 7:

170

Маємо загальний розв’язок системи:

x1 75 137 x3 87 x4 ; x 2 73 79 x3 75 x4.

Базисний розв’язок системи:

x1 75 ; x2 73 ; x3 0; x 4 0.

Розв’язування систем n лінійних рівнянь з п невідомими

Маємо систему n лінійних рівнянь з n невідомими AX B. Якщо D A 0 , система має єдиний розв’язок, який можна ді-

стати:

а) за формулами Крамера —

xi DDi , i 1, 2, ... n,

де Di — визначник, який дістаємо заміною у визначнику D і-го

стовпця стовпцем вільних членів; б) за допомогою оберненої матриці —

X A 1B;

в) за методом Жордана—Гаусса. Систему рівнянь подамо в табличній формі. Для контролю обчислень додамо ще стовпець K, в якому знайдено суму елементів у рядках:

171

Методом повного виключення змінних матриця A зводиться до одиничної. Для цього виконується n кроків перетворення Жордана—Гаусса, кожний з яких складається з таких операцій:

1)вибираємо розв’язувальний елемент aik 0 ;

2)у новій таблиці елементи i-го рядка ділимо на aik ;

3)у k-му стовпці нової таблиці решта елементів дорівнюють нулю;

4)інші елементи таблиці обчислюємо за формулою:

Стовпці вільних членів і контрольний будуємо аналогічно. У новій таблиці робимо перевірку, порівнюючи суми елементів за рядками з елементом контрольного стовпця.

Після п кроків перетворення у стовпці вільних членів дістаємо розв’язок системи.

Задача 1.4. Розв’язати систему рівнянь:

x1 2x 2 3x3 4; 3x1 2x 2 x3 8; x1 x 2 2x3 2.

Матрицю A було розглянуто в прикладі на обчислення оберненої матриці. Її визначник D 4. Там само було знайдено

матрицю A 1. Розв’яжемо систему трьома методами.

1. Заформулами Крамера. Обчислимозначеннявизначників Di :

172

Тоді

Розв’язувальні елементи в таблицях виділено. В останніх трьох рядках четвертої таблиці маємо розв’язок системи: x1 1;

x 2 3; x3 1.

п-вимірні векторні простори. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис n-вимірного простору. Розклад вектора за векторами базису

Упорядкована множина п дійсних чисел називається n-

вимірним вектором:

а a1, a2 , ..., an .

Після введення операції множення вектора на число і додавання векторів можна розглядати n-вимірний векторний простір як сукупність усіх n -вимірних векторів.

Система векторів а1, а2 , ..., аn називається лінійно незалежною, якщо рівність

Визначник відмінний від нуля, вектори лінійно незалежні та утворюють базис простору. Розклад вектора х за векторами базису шукаємо за методом Жордана—Гаусса. Координати векторів запишемо в стовпці. Матрицю координат векторів а1, а2 , а3

зведемо до одиничної, одночасно знайдемо розклад вектора x. Щоб контролювати обчислення, таблицю доповнимо стовпцем, в якому знайдено суми елементів у рядках.

Маємо розклад:

x 2а1 а2 3а3 .

Отже, вектор x у базисі, утвореному векторами a1, a2 , a3 , має координати:

х 2; 1; 3 .

Власні числа і власні вектори матриці

Маємо квадратну матрицю А. Якщо існує ненульовий вектор Х,

такий що АХ = λХ, то — власне число, а — власний вектор матриці . Якщо рівняння переписати у вигляді A E X 0,

то воно зведеться до системи п лінійних однорідних рівнянь

175

з п невідомими. Така система має ненульовий розв’язок, якщо визначник матриці A E дорівнює нулю. Таким чином, щоб

знайти власні числа матриці, потрібно розв’язати рівняння степеня п відносно , яке дістанемо розкриттям визначника A E 0. Власні вектори можна знайти, підставивши відпо-

відні значення у рівняння A E X 0.

Задача 1.6. Знайти власні числа і власні вектори матриці

3 2 5 1 1 5 3 3 0.

9 6 2 5 3 9 0.

45 9 30 6 2 5 2 3 3 9 0.

3 11 2 36 36 0.

Корені цього рівняння — власні числа матриці:

1 2; 2 3; 3 6.

Знайдемо власні вектори, які відповідають знайденим власним числам.

Шукаємо розв’язок за методом Жордана—Гаусса в табличній формі:

Шукаємо розв’язок рівняння в табличній формі:

177