PLAN_DRpraktich-_15-16_51god

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y cos x sin x cos x .

y (x ctgy) 1.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Теми практичних занять по курсу „Диференціальні рівняння” на 2015 – 2016 н. р. для студентів факультету кібернетики

за напрямком підготовки „Прикладна математика” (Спеціальність – інформатика)

Заняття 1.Тема: Побудова диференціальних рівнянь за заданим параметричним сімейством кривих.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти диференціальні рівняння сімейств кривих та дати геометричне тлумачення результатів

1.	x y 2 C .	2.	y eCx . 3.		y C		cos x C		2	sin x .
					1				2
4.	Написати диференціальні рівняння всіх кіл на площині.
						x
	( x C)2 y 2 r 2 .
5.	( x C)2 y 2 r 2 .		6. y C e C .7. y C C ln x C x3 .
							1	2		3
8.	Знайти диференціальні рівняння всіх кіл на площині, які проходять через початок
	координат: x2	y 2 2C x 2C		2	y 0 .
			1	2

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

Знайти диференціальні рівняння сімейств кривих та дати геометричне тлумачення результатів

1.	x 2 y 2	Cx 0 .		2.	y	C	.	3.	y sin x C .

						x			tg x C y 0 .
4.	y C e3 x C		e 3 x .	5.	y tgCx .			6.
	1	2

7.Знайти диференціальне рівняння всіх прямих на площині.

8.Утворити диференціальне рівняння прямих, що проходять через задану точку з координатами (а; b).

Заняття 2.Тема: Поле напрямів. Інтегральні криві.

Побудувати поле напрямів та накреслити схематично поведінку інтегральних кривих наступних диференціальних рівнянь.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1.dy dx

4. dydx

6.dydx

7.dydx

2x 1.

y x2 .

2 y x.

x 2

2x y.

y 2 . Побудувати ізокліни

y 0,

y 1, y 3.

2xy.

x y

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

y x.

y x2 .

y 3x.

y 1 2 .

0, y

1, y

2, y

dx x

y .

Побудувати ізокліни

y 3x

x 3 y

Заняття 3. Тема: Диференціальні рівняння 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Рівняння з відокремлюваними змінними.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1.( y 2 1)( x 2)dx x2 ydy 0 .

2.sec 2 x tg y dx sec 2 y tg x dy 0 .

dy x3 ( y 1)3

xy ( x

1) y

0 ; M (0;1) .

( x 1) y

0 .

x2 dx y 3e x y dy 0 .

y 3 ln ln xdx xey2 dy 0 .

e x 1

ee y (1 e x ) y .

e y

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

2x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0;

M (1;0) .

ex y ; M (0;0) .

sin(ln

ydx (

x )dy 0; M (1;1) .

cos(ln

y) .

cos x

1 ln 2 y

3 ln 2

dy 0 .

x ln y

ln y

Заняття 4. Тема: Інтегровані типи диференціальних рівнянь 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Однорідні рівняння та зведені до них. Лінійні рівняння.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1.( y x2 y 2 )dx xdy 0 .

2.2xydx ( y 2 x 2 )dy 0; M (1;1) .

3.(2 x 3 y)dx ( x 2 y)dy 0 .

4.xy x cos xy y 0 .

5.( y 3 2x 2 y)dx (2x3 2xy 2 )dy 0 .

6.(6x y 1)dx (4 x y 2)dy 0 .

7.( x y 1)dx (2 x 2 y 1)dy 0 .

8.y( x2 y 2 1)dx ( x2 y2 1)xdy 0 .

9.xydx ( y 4 x2 )dy 0 .

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1.xy y(1 ln y ln x) .

2. xdy (x2 y2 y)dx 0 .

				x		x
3.	(xye y y2 )dx x2e y dy 0 .
4.	(6xy 5y2 )dx (3x2 10xy y2 )dy 0 .
5.	(x3 3xy2 )dx (2y3 3x2 y)dy 0.
6.	(x 2)dx ( y 2x 1)dy 0 .
7.	(x 2 y 1)dx (2x 4 y 3)dy 0 .
8.		y3dx 2(x2 xy2 )dy 0 .
9.	(xy2 y)dx (x3 y2 3x2 y 3x)dy 0 .
10.		dy	y x 1;		M (0;1) .		11.	y y sin x cos x .
10.			y x 1;		M (0;1) .		11.	y y sin x cos x .
		dx
12.
12.	y (x ln y) 1.

Заняття 5. Тема: Інтегровані типи диференціальних рівнянь 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільної сталої. Рівняння типу Бернуллі.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

2xy 1 .

sin x

x cos x;

M ( / 2;1) .

y sin x y 2 sin

2 .

x cos x

y( x sin x cos x) 1.

1 dy

(2 x) ln y x(e2 x e

2 ) .

y dx

2 y

cos2 x .

cos x dx y sin x y .

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1.	x ln x	dy	y x(ln x 1) .

		dx
2.	y ytgx x cos 2 x; M (0;1) .
3.	(y2 6x)y 2y 0; M (0; 1) .

4.(y y2 )dx (2xy2 x y2 )dy 0 .

5.	dx (x e y sec2 y)dy 0;			M (2;0) .
		dy				xy
6.	sec2 y		xtgy x .	7. y			x y .
		dx			1	x2

8.3 dydx y sin x 3y4 sin x 0 . 9. xy y xy2 ln x .

Заняття 6. Тема: Рівняння Рікатті.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти розв’язки рівнянь, підібравши спочатку частинні розв’язки

1. x2	dy	x2 y2 5xy 3 0.	2.	dy	xy2	y	x3 2 0.
	dx			dx		x

Знайти загальні розв’язки рівнянь

3.(x

4.dydx

5.dy dx

x4 ) y x2 y 2xy2 0, y1 (x) x2 .

2 y 2

x cos x 1 cos 2x,

y x sin x.

x 2

y 2

4 x

2 x

, y1

x 2

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

y2 x2 y x2 0.

y2 x2 1.

3. y y2

, y1 (x)

y 2

x sin x cos

2 x, y

x cos x.

x 2

y 2

y x cos x sin x ,

y x sin x.

sin x

Заняття 7. Тема: Рівняння в повних диференціалах.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти розв’язки рівнянь в повних диференціалах

1. y cos x x cos y dx y sin x x sin y dy 0.

2x ln x y x

ln x y x

x y

2x x 2 y 2 x dx 2 y x 2 y y 2

dy 0.

(2x sin y y 2 sin x)dx (x2 cos y 2 y cos x 1)dy

5. (6xy x2 3) y 3y 2 2xy 2x 0.

y 2

dx 2

dy 0. 7.

(1 e y

)dx e y (1

)dy

0 .

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

Знайти розв’язки рівнянь в повних диференціалах

1. y dx 2 y x y dy 0.

2.	3x 2	y 2
2.	y 2
	y 2

3.sin y

2 dx

2x3 dy 0. y 3

x 2 1 cos y dy 0. cos 2 y 1

4.(x ln y x2 cos y)dy (x2 y ln y y 2xy)dx 0.

5.	2x y	dx	2 y x	dy 0.
	x 2 y 2		x 2 y 2

6.(2x cos y y 2 sin x)dx (2 y cos x x2 sin y)dy 0.

7.(xey e x )dy (e y ye x )dx 0.

Заняття 8. Тема: Інтегрувальний множник. Випадки знаходження інтегрувального множника.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Розв’язати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника, знаючи, що вони мають f (x) або f ( y)

1.(2 y xy3 )dx (x x2 y 2 )dy 0.

2.y 2 (x 3y)dx (1 3xy2 )dy 0.

3.2 ydx ( y 2 6x)dy 0.

Зінтегрувати рівняння за допомогою множників ( x y) ,							( xy)	або ( x y)
	ay				2	dx (xy 1)dy 0.
4. y		x dx ady 0.	5.	y
4. y		x dx ady 0.	5.	y
	x

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

Розв’язати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника, знаючи, що вони мають f (x) або f ( y)

1.(1 x2 y)dx x2 (x y)dy 0.

2. (2xy ax)dx dy 0.	3. dx (x e y y 2 )dy 0.
Зінтегрувати рівняння за допомогою множників (x y) ,		f (xy)	або (x y)
	5

4.dx xctg(x y)(dx dy) 0.

5.(2x2 y x)dy ( y 2xy2 x2 y3 )dx =0 .

Заняття 9. Тема: Диференціальні рівняння 1-го порядку, не розв’язані відносно похідної. Метод параметризації

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти загальні розв’язки і загальні інтеграли рівнянь


1. x3 y 2 x2 yy a 0.			2. xy 2 2 y y 0.

3. y 2xy 1 y 2 .			4. x 1 y 2 y 0.
5. x y sin		y	6. 3y 5 yy 1 0.
7. x3 y 3 3xy 0.			8. y 3 1 0.
9. x(2 y	2	) 1.
			10. y y	ln y .

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

Знайти загальні розв’язки і загальні інтеграли рівнянь

1. 9 yy 2 4x3 y 4x2 y 0.

3. y xy sin y .

5. y y sin y cos y .

7. y 2 xy x 2 0.

9. x ay b1 y 2 .

2. xy 2 yy a 0.

4. x(1 y 2 ) 1.

6. y y 1 y 2 .

	8. y 2 2 y 1 0.
		1		1
10.	x y

				.
			y
				y

Заняття 10. Тема: Інтегрування і пониження порядку диференціальних рівнянь з вищими похідними

Зінтегрувати диференціальні рівняння та відшукати частинні розв’язки там, де задані початкові умови:

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1.	y 0 , при x0
2.	y x cos x .
4.	y y 2 0 .

6. 2 yy y 2 1.

8.y xex , при

9.y y 2 2e y

	0, y0						2.
	0, y0	1, y0	0, y0				2.
		3. xyIV				y e2 x .
										y

										x .
		5.	xy			y		ln		x .
		7. x 2 y					y 2		0 .
			0.
x0 0, y0 1, y0			0.
.		10.	x	2	yy						2	.
.		10.	x		yy		( y xy )					.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

	V						ln x
	y x 1 .
1.				2.	y	x2 . 3.			y	ln y		x 0 .
1.				2.	y	x2 . 3.			y	ln y		x 0 .
4. 2 yy 3y 2 4 y 2 .								5. xy y x2 1 0 .
6.		2	0 .			7.			y(xy				2	(1	x) .
6.	y y 3y		0 .			7.			y(xy		y ) xy			(1	x) .
8.	yy y 2			y .		9.			xyy xy 2 yy .
10.	y 3 yy 0 .

Заняття 11. Тема: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь, а також частинні там, де задані початкові умови:

1. y 5 y 4 y 0 .						2. y a 2 y 0.
3. y 8 y 0.						4.	y ( IV ) 2 y y 0.
5. yV	10 y 9 y 0.					6.	y (6)	64 y 0.
7. y	5 y	4 y 0	, при		x0 0,	y0	1,
								y0 0.

8. y	y 0 , при		y		1, y		0.

				2			2

9. y ( IV ) a 4 y 0.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

y 7 y 10 y 0 .

2. y 9 y 0 .

3. y 3 y 0 .

4. y 4 y 13 y 0 .

2 y

y 0,

y(0) 3,

0 .

y (0)

y IV a4 y 0 .

7. yV 4 y IV 0 .

8. yVI 2 yV 0 .

4 y

29 y 0, y(0)

1, y (0) 7

Заняття 12. Тема: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі змінними коефіцієнтами. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1. Функції x, x 2 , x3 справджують деяке однорідне лінійне диференціальне рівняння.

Переконатися, що вони утворюють фундаментальну систему, та скласти згадане рівняння. Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.

2. (1 x 2 ) y 2xy 2 y 0, y1 (x) x.

3.y (x2 1) y 0,

4.xy 2 y xy 0,


y (x) e 2 .
	1
y (x)		sin x	(x 0).
y (x)			(x 0).
1		x
		x

Скласти лінійне однорідне диференціальне рівняння (найменшого можливого порядку), яке має такі частинні розв’язки.

5. y

1, y

cos x.

xe x ,

e x .

Розв’язати рівняння.

6 y

y 0.

7. y

x y

x 2

9. x 2 y xy 3y 0.

10. x 2 y xy y 0.

11.

2x 3 2 y 2x 3 y y 0.

12.

x 2 y xy 4 y 10x.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1. Побудувати диференціальне рівняння, що має таку фундаментальну систему функції 1 та cos2x .

Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.

2.(1 x)y xy y 0; y1 (x) ex .

3.(1 x2 )y xy y 0; y1 (x) 1 x2 .

4. y xy 2 y 0; y1 (x) x2 1.

5.x2 y 2xy 6y 0 .

6.x2 y 2 y 0 .

7.(x 1)3 y 3(x 1)2 y 4(x 1) y 4y 0 .

8.x3 y xy 3y 0 .

9.x2 y xy 3y 5x4

10.x 2 y 4xy 6 y 0. 11. x 2 y xy y 8x3 .

12.x 2 y 3xy 5 y 3x 2 .

Заняття 13, 14. Тема: Методи Лагранжа, Коші і невизначених коефіцієнтів для розв’язування неоднорідних рівнянь вищих порядків

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

y y x2 1 (НК).

y 4y x2 (Л).

y 4 y 3y x e2 x (НК).

y 2y y e x cos x xe x (НК).

y y ctgx (К).

y 6y 9 y

9x2

6x 2

(Л).

y y x 2 x 1 (НК).

y 4 y 4x cos 2x

(Л).

2 y

3y 2x e

3 x

(НК).

10.

2 y

e x

(К).

Рекомендовані варіанти домашнього завдання

tgx (К).

2 y e x 1

(Л).

y x (К).

4 y

cos 2x (Л).

5.y' ' ' 4 y' ' 5 y' 2 y 2x 3 (НК).

6.y''' 3y' 2 y e x (4x 2 4x 10) (НК).

7.	y IV	8 y'' 16 y cos x (НК).				8. yV y' ' ' x 2 1(НК).
9.	y IV	y xex			cos x (НК).
			2		1
10.				y x 1; y(1) 2,			3	(Л).
	y					y (1)

Заняття 15. Тема: Крайові задачі. Задача Штурма – Ліувілля. Побудова функції Гріна.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Яка з крайових задач має розв’язки:

1.	y	y 0;	y(0) 0,		1.
				y ( / 2)
2.	y	y 0;	y(0) 0,
				y (2 ) 1.

Знайти власні значення і власні функції:

3.	y y;		y(0) 0,	y(b) 0.
4.	y	y;
			y(0) y (b) 0.

Побудувати функції Гріна для крайових задач:

5. y f (x); y(0) 0, y(1) 0.

6.y y f (x); y(0) y( ), y (0) y ( ).

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1.	y	y 1;		y(1) 1.
			y (0) 0,
2.	y	y 1;	y(0) 0,	y( / 2) 0.
3.	y			0, y( ) 0.
		y f (x); y (0)

4.y y ; y (0) 0, y (l) 0.

5.x2 y y ; y(1) 0, y(a) 0.

Заняття 16. Тема: Розв’язування однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

x 2x y, 1.

y 3x 4 y.

x x z y, 1 1,

4. y x y z, 2,2

z 2x y, 1.3

x x y z, 1 1

7. y x y z, 2 1
	2z y,	3 2.
z

x x 8 y 0, 2. y x y 0.

x x y z, 1 1, 5. y x y, 1 2i

z 3x z, 1 2i3

3. x x 3 y,

y	3x y.
	x 4x y z, 1

6. y x 2 y z, 2
		2z,	3
	z x y	2z,	3

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1. x x y,	2. x x y,

y y 4x.	y 3y 2x.
x x 2 y z, 1 0,

4. y y x z,	2 2,
	3 1.
z x z,	3 1.
x 2x y z,	1 0,

6. y 3x 2 y 3z, 2 1,
	3 1.
z y 2z x,	3 1.


3.	x x 5 y 0,
	y x y 0.	1 2,
	x 2x y,	1 2,

5. y x 3y z, 2 3 i
	2 y 3z x,	3 3 i.
z
x y 2z x, 1 1,

7. y 4x y,		2 1,
	2x y z,	3 1.
z

Заняття 17,18. Тема: Методи розв’язування неоднорідних систем з постійним коефіцієнтами. Застосування методу невизначених коефіцієнтів.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1.x y 2et ,y x t 2 .

x x y 8t,

y 5x y.

2.x 3x 2 y 4e5t ,y x 2 y.

			t 1,
		2
6.	x y tg

y x tgt.

3.x 4x y e2t ,y y 2x.

					2
	x 4x 2 y						,
7.	x 4x 2 y		et		1		,
7.				3
	y 6x 3y			3		.


		e	t	1
		e		1

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

x y 5cos t,

y 2x y.

x 2 y x 1,

y 3y 2x.

x 2x y,

y 2 y x 5et sin t.

x 2x 4 y 4e 2t ,

y 2x 2 y.


4.	x x 2 y 16tet ,
4.


	y 2x 2 y.

	x 2 y x,
6.		e	3t
	y 4 y 3x	e		.

		e2t 1
		e2t 1

x 2x y,

4.y y 2x 18.

			1
	x x	y		,
	x x	y	cos t	,
8.			cos t

	y 2x y.

Заняття 19,20. Тема: Системи в симетричній формі. Розв’язування лінійних рівнянь першого порядку з частинними похідними. Метод характеристик. Задача Коші.

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

2 y z

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2015303.62 Кб18PKP_I_MP.doc
#
19.03.201578.85 Кб10Plani_seminarskikh_zanyat_kultura.doc
#
01.03.202535.25 Mб0Plant-anat_albom.doc
#
19.03.2015210.94 Кб80Plant-anat_kontrolni.doc
#
07.03.201664 Кб40Plany_seminar.doc
#
07.03.20161.12 Mб5PLAN_DRpraktich-_15-16_51god.pdf
#
19.03.2015298.5 Кб8plt_9099.DOC
#
19.03.2015321.93 Кб5pmvm.pdf
#
19.03.2015183.81 Кб8POKhODZhENNYa_ANTROPONIMIV.doc
#
19.03.2015317.44 Кб13polit.doc
#
19.03.2015137.23 Кб14Politologia_magistratura_1_kurs_13_.pdf