Контрольная работа д6 Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы

Тело D массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси О₁z под действием пары сил с моментом (рис. 1). При этом по желобу АВ тела D под действием внутренней силы , направленной по касательной к желобу (управляющее воздействие), движется материальная точка М массойm₂. Согласно закону равенства действия и противодействия с такой же по величине силой, но направленной в противоположную сторону точка М действует на тело D.

Используя уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Сопротивлением движению пренебречь. Тело D рассматривать как тонкую однородную пластинку.

Рис.1

Решение

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тела D и материальной точки М. Данная система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем угол поворота пластины D вокруг вертикальной осиО₁z и центральный угол О₁ОМ, определяющий положение материальной точки М в полукруговом желобе АВ (рис.2).

Рис.2

Уравнения Лагранжа второго рода для данной механической системы могут быть записаны в виде:

(1)

где Т – кинетическая энергия системы, - обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам.

Для рассматриваемой механической системы , гдеи– кинетические энергии тела D и материальной точки М, соответственно.

Тело D вращается вокруг неподвижной оси z, следовательно .

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела:

По теореме Штейнера .

Следовательно .

Кинетическая энергия материальной точки М:

где - абсолютная скорость точки М

Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по желобу относительным, а вращение самого тела D – переносным движением. Тогда .

Относительная скорость точки М численно равна:

(2)

Переносная скорость точки М:

Из треугольника О₁ОМ по теореме косинусов:

Так как , то

ипереносная скорость точки М:

(3)

Векторы изображены на рис.3. Так как, то(4)

А квадрат абсолютной скорости вычисляется по формуле:

Рис.3

Тогда с учетом равенств (2)-(4) получим:

Так как , то

Кинетическая энергия точки М:

(5)

Кинетическая энергия механической системы, учитывая, что :

(6)

Для определения обобщенных сил сообщаем системе возможные перемещения:

1. 

Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна

Тогда

(7)

2. 

Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна

Тогда

(8)

Вычисляем частные производные от функции кинетической энергии системы по обобщенным скоростям:

Тогда

Вычисляем частные производные от функции кинетической энергии системы по обобщенным координатам:

Тогда дифференциальные уравнения движения можно записать в виде:

С учетом числовых данных:

Или:

После преобразований получаем дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы:

Литература

1. Бать М.И и др. Теоретическая механика  в примерах и задачах. Учеб. пособ. для вузов. В 2-х т./М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб. - М.: Наука, 2007.-670 с.

2. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической  механики: Учеб.пособие для студ-ов вузов по техн. спец.:В 2-х т./ Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р.Меркин. СПб.:Лань.-5-е изд., испр. 2008.-729 с.

3. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч.по техн. спец./И.В.Мещерский; Под ред.В.А.Пальмова,Д.Д.Меркина.-45-е изд., стер.- СПб. и др.: Лань, 2009.-447 с. 2.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008.-415 с.

5. Сборник  заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.втузов/[А.А. Яблонский, С. С.Норейко,С.А.Вольфсон и др.];Под общ. ред. А. А. Яблонского.- 11-е изд.,стер.-М.:Интеграл- Пресс,2008.-382 с.

6. Тарг С.М. Краткий курс теоретической  механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2007.-415 с.