Контрольная работа д5 Применение общего уравнения динамики к изучению движения механической системы с одной степенью свободы

Механическая система, изображенная на рис.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости.

Массы тел: =300 кг, =100 кг,=10 кг

Заданная нагрузка: М=20 Н∙м и F=500 Н

Радиусы колеса В и шкива D соответственно равны R_В=0,8 м, r_В=0,5 м, R_D=0,2м, радиус инерции колеса В ρ_В=0,3 м

Углы имеют следующие значения: α=30⁰, β=60⁰

Коэффициент трения качения равен k = 0,05∙R_В; коэффициент трения скольжения тела А равен f = 0,1.

Используя общее уравнение динамики и принцип Даламбера для механической системы, определить ускорение тела А и натяжения в ветвях троса. Шкив D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу шкива пренебречь.

Рис.1

РЕШЕНИЕ:

Для определения ускорения груза А воспользуемся общим уравнением динамики:

. (1)

Где - суммарная работа активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении механической системы.

- суммарная работа сил инерции, действующих на систему, на любом возможном перемещении механической системы.

Связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, можно считать идеальными, если силы трения скольжения и момент трения качения отнести к активным силам.

Тогда активными силами, действующими на систему, будут (рис.2):

силы тяжести ,,, реакции,,, сила трения скольжения, действующая на груз А, сила трения, действующая на колесо В и моментсил сопротивления качению блока В, а так же приложенные к колесу В силаи момент пары сил М.

Рис. 2

Применим к рассматриваемой системе принцип Даламбера. Определим главные векторы и главные моменты сил инерции тел системы, которые затем условно присоединим к этим телам противоположно их ускорениям.

Модуль главного вектора поступательно движущегося тела А:

(2)

Модуль главного момента сил инерции шкива D, вращающегося с угловым ускорением:

Так как шкив D считаем однородным цилиндром, то его момент инерции относительно оси, проходящей через точку О₁: , то есть

(3)

Модуль главного вектора и модуль главного момента сил инерцииколеса В вычисляем по формулам:

(4)

Момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через точку О: . Тогда

(5)

При решении предыдущей задачи были получены следующие кинематические соотношения (- скорость центра масс колеса В):

(6)

Дифференцируя обе части соотношений (6) по времени, получаем:

(7)

Тогда формулы (3) – (5) с учетом соотношений (7) можно записать:

(8)

(9)

(10)

Данная механическая система имеет одну степень свободы и ее положение в любой момент времени однозначно определяется одной обобщенной координатой. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение груза А. Сообщим системе возможное перемещение .

Запишем общее уравнение динамики для этой системы:

(11)

Учитываем, что сила трения скольжения определяется выражением: (12)

и момент сопротивления качению:

(13)

Силы тяжести тел системы:

(14)

Соотношения (6) можно записать в виде:

Или

(15)

Заменяя в соотношениях (15) знак дифференциала d на знак вариации δ, получаем:

(16)

Подставим в уравнение (11) соотношения (2), (8)-(10), (12)-(14), (16):

Или

Так как , то

Откуда получаем:

Подставляя исходные данные, получим:

Рассмотрим отдельно груз А. Действие троса заменим его реакцией (рис.3)

Направим ось х вдоль поверхности, по которой движется груз А.

Рис.3

Так как согласно принципу Даламбера все действующие на систему внешние силы вместе с силами инерции образуют уравновешенную плоскую систему сил, то

Откуда

Подставляя числовые данные, найдем силу натяжения троса:

Аналогичным образом рассмотрим равновесие шкива D (рис.4). Действие тросов заменим их реакциями и.

Тогда уравнение моментов сил относительно точки О₁ можно записать в виде:

Откуда

Рис.4

По закону равенству действия и противодействия и учитывая соотношение (9), получим:

Подставляя числовые данные, найдем силу натяжения левой ветви троса:

Ответ: ;;