Если справедливо операторное тождество
то имеет место также операторное тождество
где
некоторые
переключательные функцииn
и
2n
переменных.
Такие тождества впредь будем называть
сопряженными. Функции
входящие во второе операторное тождество,
получаются из функций
входящих
в первое операторное тождество, заменой
на
,
а
на
,
т.е. заменой переменных
на
,
на
,
а переменных
на
;
на
.
Функцииfi
и
,
входящие в второе тождество, получаются
из функцийfi
и
,
входящих в первое тождество, взаимной
заменой операций дизъюнкции и конъюнкции.
Такое преобразование тождеств допустимо
в силу того, что взаимная перемена
на
эквивалентна замене направления отсчета
времени.
Используя определение оператора перехода (2.3), несложно доказать следующие операторные тождества:
Все тождества, за исключением последнего, записаны парами и могут быть получены одно из другого. Последнее тождество является самосопряженным. Рассмотренные тождества часто используются для упрощения выражений, содержащих операторы переходов. Для преобразования операторных выражений могут быть полезны следующие тождества:
d(dx)=0,
,x=
,(x)=x.
При
проектировании логических схем можно
использовать и импульсные сигналы с
низким активным уровнем
и
(инверсные
импульсные сигналы).
Операторные выражения, описывающие импульсные сигналы, могут быть использованы для проектирования логических схем, формирующих такие сигналы. Например, на рис. 2.3. показана схема генератора импульсных сигналов dx , построенная в соответствии с (2.1) и эпюры напряжений, поясняющие ее работу. Генераторы импульсных сигналов называются разностными элементами.
1 t 
t
t
t
t
Рис 2.3
2.2 Комбинационные схемы
Логическая схема, выходные сигналы которой описываются системой переключательных функций
,
(2.7)
где
-
входные сигналы логической схемы,
называетсякомбинационной
схемой (КС).
Из (2.7) следует, что КС реализует однозначное
соответствие между значениями входных
и выходных сигналов и от предшествующего
состояния схемы состояния выходов не
зависят.
При реализации функций zq, описывающих выходные сигналы КС, используются логические элементы (ЛЭ), выпускаемые в виде интегральных микросхем (ИМС). В составе серий ИМС выпускаются ЛЭ одноступенчатой логики, реализующие следующие логические функции: НЕ, ИЛИ, И, И-НЕ, ИЛИ-НЕ, «исключающее ИЛИ»; и ЛЭ двухступенчатой логики: И-ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ и другие. Совместное их использование дает возможность синтезировать любую функцию типа (2.7). К числу КС относится большой класс устройств функционального назначения: сумматоры, мультиплексоры, демультиплексоры, шифраторы, дешифраторы, преобразователи кодов, цифровые компараторы и т.д..
2.3. Применение метода карт Карно для синтеза комбинационных схем
По
причине сложности алгебраического
метода минимизации булевых функций,
связанного с трудоемкой работой по
отысканию соседних минтермов, наибольшее
распространение получил графический
метод минимизации булевых функций,
называемый методом
карт Карно.
Преимуществом данного метода является
его наглядность и простота использования
при небольшом числе логических переменных
Карта Карно для n двоичных переменных представляет собой прямоугольную таблицу с числом клеток в ней, равной N=2n. Таким образом, для трех переменных карта Карно включает восемь клеток, для четырех - шестнадцать и т.д.
На карту Карно в так называемом циклическом коде Грея заносятся минтермы. Для четырех переменных карта Карно имеет следующий вид:
Х1Х2
Х3Х4 00 01 11 10
00
01
11
10
На карте Карно в коде Грея по горизонтали перечисляются переменные X3, X4, а по вертикали - переменные Х1, Х2.
Метод карт Карно использует одну из известных аксиом алгебры Буля:
Можно сформулировать несколько правил, основанных на этой аксиоме (аксиома склеивания переменных).
Если минтермы расположены в соседних или крайних клетках строки или столбца, то ранг минтерма снижается на один порядок, а склеиванию подлежит переменная, входящая с разными показателями инверсии.
00 01 11 10
00
01
1 1
11 1 1
10
В приведенной карте Карно исходной выражение содержит четыре минтерма четвертого ранга (16 букв), а минимизированное (тупиковое) выражение состоит из двух минтермов третьего ранга (6 букв).
2. Если минтермы образуют строку, столбец, квадрат или большой квадрат, то ранг минтерма снижается на два порядка, а склеиванию подлежат переменные, входящие с разными показателями инверсии.
Например, пусть задана карта Карно, в которую занесены семь минтермов четвертого ранга, образующие строку и столбец, т.е. исходное булево выражение состоит из 28 букв, тупиковая форма содержит два минтерма второго ранга (6 букв).
X1X2
X3X4 00 01 11 10
00 1
01 1 1 1 1
11 1
10 1
Ознакомимся с правилами заполнения карт Карно, исходя из таблицы истинности или руководствуясь исходными булевыми выражениями.
Пусть задано булево выражение:
Занесем данные минтермы на карту Карно.
X1X2
Х3Х4 00 01 11 10
00
01
11
10 1 1
Минтермы оказались в соседних клетках строки, поэтому тупиковое (минимизированное) выражение будет представлять собой минтерм третьего ранга:
.
Рассмотрим применение метода карт Карно на примере синтеза преобразователя кода прямого замещения в циклический код Грея.
Циклический код Грея, названный так в честь американского ученого, впервые применившего его для снятия цифрового кода угла поворота антенны в радиолокационных станциях кругового обзора.
Циклический код Грея - один из кодов с минимальным кодовым расстоянием, равным единице. Основные характеристики кода мы сможем выяснить из приведенной ниже таблицы истинности для четырехразрядного кода.
Таблица .
|
№ п/п |
Код 8-4-2-1 |
Циклический код Грея | ||||||
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Как видно из таблицы, основные особенности циклического кода Грея следующие:
При переходе от двоичного изображения числа в меньшую или большую стороны в коде Грея изменяются показания только одного из разрядов, это снижает ошибку считывания;
Цикл обращения инверсии увеличивается вдвое: в младшем разряде он равен двум, в следующем по старшинству - четырем и т.д.
Следует отметить, что существует масса вариантов построения циклических кодов, обладающих этими свойствами, и код Грея не является единственным из циклических.
Построим четыре карты Карно по числу выходных логических переменных.
Y1
X1X2
Х3Х4 00 01 11 10
00
1 1
01
1 1
11 1 1
10 1 1
Минимизированное
выражение для
будет
представлять собой минтерм первого
ранга, т.к. занесенные в карту минтермы
образуют два рядом расположенные
столбцы.
.
Продолжив построение карт Карно для оставшихся трех выходных логических переменных, получим из тупиковые формы:
Y2
X1X2
Х3Х4 00 01 11 10
00
1 1 
01
1 1
11 1 1
10 1 1
Y3
X1X2
Х3Х4 00 01 11 10
00
1 1
01
1 1 
11 1 1
10 1 1
Y4
X1X2
Х3Х4 00 01 11 10
00
01
1 1 1 1 
11
10 1 1 1 1
Логическая схема преобразователя кода, полученная в соответствии с минимизированными булевыми выражениями, представлена на рис. 2.4.
Таким образом, мы продемонстрировали возможности синтеза комбинационных схем, предлагаемые методом карт Карно.